intégrale
Bonsoir,
J'aimerais savoir s'il existe une expression simple avec les fonctions usuelles de l’intégrale suivante, les paramètres $a$ et $b$ étant réels : $$\int_0^1 \frac{\ln(x)}{x^2+a.x+b}\cdot dx $$
D'avance merci.
NB : les cas $(a,b) \in \{(0,1), (0,-1), (1,1), (-1,1), (-1,-1), (2,1), (-2,1)\}$, étant bien connus
fjaclot;
J'aimerais savoir s'il existe une expression simple avec les fonctions usuelles de l’intégrale suivante, les paramètres $a$ et $b$ étant réels : $$\int_0^1 \frac{\ln(x)}{x^2+a.x+b}\cdot dx $$
D'avance merci.
NB : les cas $(a,b) \in \{(0,1), (0,-1), (1,1), (-1,1), (-1,-1), (2,1), (-2,1)\}$, étant bien connus
fjaclot;
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Réponses
En mettant 1/(x²+ax+b) sous la forme C*(1/(x+A))-(1/(x+B)) on sépare en deux intégrales qui s'expriment avec la fonction spéciale dilog.
Étant partisan du moindre effort, je te renvoie à :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(ln(x)/(x*x+a*x+b))*dx
Avec les bornes d'intégration x=0 et +infini, les dilog (ou plus exactement les différences de dilog) doivent se simplifier et l'expression devrait se réduire à des fonctions usuelles.
[Inutile de répéter in extenso l'avant dernier message. AD]
comme a dit JJ, les dilog interviennent joliement
Maple donne rapidement :
int(ln(x)/((x-a)(x-b)),x=0..1)=(dilog(1-1/a)-dilog(1-1/b))/(b-a)
pour le cas où a=b, on a -ln(a/(1-a))/a
Merci a JJ et Yalcin.
On se ramene effectivement a des expressions contenant Dilog (1+/-1/a) et Dilog(1+/-1/b.
A signaler que le resultat donne par Yalcin omet des termes en Ln(a)Ln(1+/-1/a) et Ln(b)Ln(1+/-1/b)
A signaler aussi le tres beau resultat pour le cas a=Phi et b=-1/Phi avec Phi=(5^(1/2)+1))/2:
integrale de 0 a 1 de (Ln(x) / (x^2-x-1)).dx = (Pi)^2/(5^(3/2))
Bien cordialement.
fjaclot;
Effectivement jolie intégrale
Je n'ai pas très bien compris "A signaler que le resultat donne par Yalcin omet des termes en Ln(a)Ln(1+/-1/a) et Ln(b)Ln(1+/-1/b) "
merci