Equivalent

michal
michal
dans Analyse
Bonjour,

Je cherche un équivalent de la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ définie par $a_1=1$ et, pour tout $n\geqslant 2$ :
$$
a_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} a_k a_{n-k}
$$
Merci pour vos idées, Michal

Réponses

  • Guego
    Guego
    Il semble clairement que $\ln(a_n)$ soit de la forme $An+o(1)$ :
    22823
  • Guego
    Guego
    Confirmation numérique, avec le graphique de $\dfrac{a_n}{B^n}$ (en prenant $B = 0.69166$) :
    22825
  • michal
    michal
    D'ailleurs, si on pose $u_n=a_n/K^n$, alors la suite $(u_n)$ vérifie la même relation de récurrence que $(a_n)$ (à la condition initiale près). C'est sans doute lié.

    PS. Comment tu obtiens tes graphiques ?
  • thepasboss1
    thepasboss1
    LA série génératrice F associée à ta suite an vérifie l'équation différentielle

    xF'(x) = [ F(x) ]²

    Je ne sais pas si ça servira pour calculer un équivalent par contre... Enfin on imagine bien avec les études numériques précédentes que la solution va avoir tendance à être de la forme 1/(1-Bx) à l'infini avec B une constante. J'essaye de bidouiller dans mon coin pour voir si ça sort, mais l'analyse pur et dur c'est pas forcement mon domaine.
  • Guego
    Guego
    michal : Les graphiques sont faits avec maple.
    thepasboss : Il manque un terme : c'est $xF'(x)=F(x)^2+x$, mais je ne vois pas trop quoi en faire non plus.
  • jp nl0
    jp nl0
    Bonjour,

    ce n'est pas une équation différentielle de Riccati ?
  • thepasboss1
    thepasboss1
    Effectivement, mea culpa !

    Je m'arrachais les cheveux sur mes solutions de l'equation qui refusaient obstinément de coller... Voyons voir si celle là parlera plus...
  • GreginGre
    GreginGre
    Je ne serais pas étonné si $F$ ne s'exprimait pas à l'aide de fonctions usuelles (ça doit pouvoir se montrer à coup de Galois différentiel).
  • thepasboss1
    thepasboss1
    Vu la definition donnée, je suis immédiatement parti sur une série génératrice ordinaire vue que les sériess génératrices exponentielles sont assez gênantes à manipuler quand on a des produits de cette forme.

    Sinon sur l'équadiff effectivement les solutions évidentes ne fonctionnent pas, et les trucs un peu plus bizarres non plus... Ça ne m'étonnerais pas qu'effectivement ça ne puisse pas s'exprimer avec des "bonnes" fonctions.
  • ev
    ev
    Bonjour à tous.

    Exercice oral Centrale 1995-2011 (au moins)

    Soit $(E)~:~xy' = x + y^2$. Montrer qu'il existe une unique solution développable en série entière au voisinage de $0$ et que son rayon appartient à $[1,2]$.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • michal
    michal
    Et donc l'équivalent permettrait d'avoir la valeur précise du rayon de convergence. En fait, je me demande s'il n'y a pas équivalence : la valeur du rayon de convergence de ladite série permet peut-être de donner l'équivalent de la suite (via la formule d'Hadamard sur le rayon de convergence ?).
  • JLT
    JLT
    Je n'ai pas bien réfléchi à la question mais il me semble que l'on peut déjà montrer par récurrence que pour tout $n\ge 2$ on a $2^{1-n}\le a_n\le 2^{-\frac{n}{2}}$, ce qui donne un rayon de convergence compris entre $\sqrt{2}$ et $2$.
  • michal
    michal
    @ JLT : la question ne porte pas sur l'encadrement du rayon de convergence (autrement dit sur l'exo de Centrale), mais sur sa valeur exacte (si tant est que l'on puisse la déterminer).
  • JLT
    JLT
    En tout cas, Wolfram alpha sort une solution de l'équation différentielle avec des fonctions de Bessel.
  • Yalcin
    Yalcin
    Bonsoir,

    du côté Maple avec dsolve, on a $\displaystyle{y(x)=\sqrt{x}\frac{\textrm{BesselJ}(1, 2\sqrt{x})}{\textrm{BesselJ}(0, 2\sqrt{x})}}$

    la fonction BesselJ

    modification : je n'avais pas lu la réponse de JLT.
  • Guego
    Guego
    Ce qui donnerait un rayon de convergence égal à $\dfrac{a^2}{4}$, $a$ étant le plus petit réel positif tel que $\mathrm{BesselJ}(0,a)=0$.
    Numériquement, ça correspond aux valeurs que j'avais donné dans mes premiers messages. Par contre, je ne suis pas sûr qu'on puisse dire mieux que ça. Je ne pense pas que l'équation $\mathrm{BesselJ}(0,x)=0$ ait des solutions simples.
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