C*-algèbre, racine carrée

fanf
fanf
dans Analyse
Bonjour.
Dans une C*-algèbre peut-on toujours définir l'élément $|a|$ comme la racine carrée de $aa^*$ ?
Je sais que dans l'algèbre de Banach des applications linéaires continues sur un Hilbert, le calcul fonctionnel continu donne l'existence d'une racine carrée à tout opérateur hermitien positif.
Du coup est-ce que la notion d'élément hermitien existe aussi dans les C*-algèbre ? La positivité de $aa^*$ est claire quant à elle.
Merci !

Réponses

  • JLT
    JLT
    On peut effectivement définir les notions d'élément hermitien, positif, et la racine carrée d'un élément positif.
  • fanf
    fanf
    Ok pour la positivité mais peux tu me dire comment est défini la notion d'élément positif ?
  • fanf
    fanf
    J'imagine que c'est $a^*=a$

    [La case LaTeX. AD]
  • JLT
    JLT
    $a$ est hermitien $\iff a^*=a$.
  • BlackBird0
    BlackBird0
    Bonjour,

    On peut aussi utiliser le calcul fonctionnel holomorphe, qui permet de donner un sens à la racine carrée d'un élément d'une algèbre de Banach dont le spectre ne rencontre pas l'axe réel négatif.
  • fanf
    fanf
    Ok merci JLT. Blackbird le calcul fonctionnel holomorphe j'ai lu quelques résultats mais je ne suis pas tres au point. À l'aide de ce calcul fonctionnel peut définir $log|a|$ ?
    Merci.
  • JLT
    JLT
    Si $U$ est un ouvert, $sp(a)\subset U$ et $f$ est holomorphe sur $U$ on peut définir $f(a)$.
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