C*-algèbre, racine carrée
Bonjour.
Dans une C*-algèbre peut-on toujours définir l'élément $|a|$ comme la racine carrée de $aa^*$ ?
Je sais que dans l'algèbre de Banach des applications linéaires continues sur un Hilbert, le calcul fonctionnel continu donne l'existence d'une racine carrée à tout opérateur hermitien positif.
Du coup est-ce que la notion d'élément hermitien existe aussi dans les C*-algèbre ? La positivité de $aa^*$ est claire quant à elle.
Merci !
Dans une C*-algèbre peut-on toujours définir l'élément $|a|$ comme la racine carrée de $aa^*$ ?
Je sais que dans l'algèbre de Banach des applications linéaires continues sur un Hilbert, le calcul fonctionnel continu donne l'existence d'une racine carrée à tout opérateur hermitien positif.
Du coup est-ce que la notion d'élément hermitien existe aussi dans les C*-algèbre ? La positivité de $aa^*$ est claire quant à elle.
Merci !
Réponses
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On peut effectivement définir les notions d'élément hermitien, positif, et la racine carrée d'un élément positif.
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Ok pour la positivité mais peux tu me dire comment est défini la notion d'élément positif ?
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J'imagine que c'est $a^*=a$
[La case LaTeX. AD] -
$a$ est hermitien $\iff a^*=a$.
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Bonjour,
On peut aussi utiliser le calcul fonctionnel holomorphe, qui permet de donner un sens à la racine carrée d'un élément d'une algèbre de Banach dont le spectre ne rencontre pas l'axe réel négatif. -
Ok merci JLT. Blackbird le calcul fonctionnel holomorphe j'ai lu quelques résultats mais je ne suis pas tres au point. À l'aide de ce calcul fonctionnel peut définir $log|a|$ ?
Merci. -
Si $U$ est un ouvert, $sp(a)\subset U$ et $f$ est holomorphe sur $U$ on peut définir $f(a)$.
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Bonjour!
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