Calcul d'une intégrale

Bonjour,

L'intégrale n'est pas très sympathique à calculer.
Le changement de variable usuellement conseillé est~: \(t=\tan(x/2)\), mais il faut travailler sur des intervalles convenables.

@GreginGre : Il me semble que c'est la parité de l'intégrande \(f(x)\,dx\), et pas seulement celle de \(f(x)\), qui guide le choix du changement de variable\dots~comment calcules-tu \(\int\cos^2x\,dx\) avec \(t=\cos x\)~?

Ah, ces algébristes !!!

En fonction de l'arc moitié : \(\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) et \(dt=\dfrac12(1+t^2)\,dx\).

dilcos15 a écrit:

J'obtiens donc :

\[\frac{2}{\sqrt{a^{2}-1}}\arctan\Big(t\frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}}\Big)\]

Attention, la fonction \(x\mapsto\dfrac1{a-\cos x}\) est définie et continue sur \(]-\infty,+\infty[\), mais la fonction obtenue \(x\mapsto\dfrac2{\sqrt{a^2-1}}\arctan\left(\sqrt{\dfrac{a+1}{a-1}}\tan\dfrac x2\right)\) n'est définie que sur les intervalles \(](2k-1)\pi,(2k+1)\pi[\) (\(k\in\Z\)).

SI l'on veut une expression d'une primitive valable pour tout \(x\) réel, il y a encore un peu de travail.