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Lemme de Gronwall

Envoyé par MrJ 
MrJ
Lemme de Gronwall
il y a deux années
Bonjour,

je suis en train d'étudier les équations différentielles pour l'agrégation, et en particulier le lemme de Gronwall. L'énoncé n'a rien de très compliqué, mais j'ai du mal à voir le lien avec les équations différentielles, et pourquoi il se trouve dans ce chapitre. Avez-vous quelques explications s'il vous plait ?

Merci.
Re: Lemme de Gronwall
il y a deux années
Bonjour,

Souvent ce lemme sert pour obtenir une majoration de fonctions vérifiant une équation différentielle. Cela est notamment le cas pour vérifier la stabilité de schémas numériques lors d'approximation de solutions d'équations différentielles.
Re: Lemme de Gronwall
il y a deux années
Il me semble qu'on utilise Gronwall pour démontrer l'unicité des solutions dans le théorème de Cauchy-Lipschitz. Par ailleurs il y a plusieurs énoncés du lemme (le plus général étant le non-linéaire je crois).
MrJ
Re: Lemme de Gronwall
il y a deux années
OK merci pour votre aide, je vais encore étudier celà de plus près. Merci.
KeiOh
Re: Lemme de Gronwall
il y a deux années
Je me rappelle l'avoir utilisé pour raccourcir certains arguments. Sous les hypothèses du lemme de Gronwall tu peux "intégrer" les inégalités différentielles de type $y'(t) \leqslant a(t)y(t)$ à vue. En particulier le cas très simple où $a$ est constante donne directement $y(t) \leqslant y(t_0)e^{at}$ si $t_0$ est ta condition initiale.

C'est cette version que ma prof utilisait quand elle démontrait le théorème de Cauchy-Lipschitz comme l'a rappelé Welfar, et dans une version agrégative du théorème de Lyapunov je m'en suis servi de la même manière. Si je ne m'en servais pas je me retrouvais en fait à redémontrer le lemme dans un cas particulier, alors autant l'invoquer pour gagner 5 minutes, surtout s'il est dans le plan.

En pratique la prof en question nous a dit qu'il était crucial pour obtenir des estimations... et elle n'a jamais pu nous en donner d'exemples. Bah.
je cherche la formule de lemme de Grönwall discret
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