Dualité, théorème de Hahn-Banach

La norme n'est pas une application linéaire.

Par ailleurs, je pense que si tu prends l'ensemble des suites bornées à termes dans $\R$ qui est muni d'une structure naturelle d'espace vectoriel.

1) Tu le quotientes pas $u==v$ définie par $lim_{n\to +\infty } |u_n-v_n| = 0$
2) Tu le normes par $||c||:=s$ où $s$ est la borne supérieure des $x$ tels que $\exists u\in c: \forall p\in \N \exists n\geq p:|u_n|>x$

J'aurais tendance à penser que c'est un Banach et que toutes ses formes linéaires continues sont nulles (je dis ça par rapport à ce qui se passe dans $ZF + AD(\R)$, je n'en suis pas sûr. En gros, une forme linéaire devrait ""deviner" la fin d'une classe $c$ puisque modifier les premiers digits d'un représentant de $c$ ne change pas $c$. Et pour ça, faut en gros la même puissance axiomatique*** que celle qui permet de créer des ultrafiltres non principaux sur $\N$)

*** comme exemple de forme linéaire continue (avec l'axiome du choix), tu prends un ultrafiltre $W$ non principal sur $\N$ et tu envoies $c$ sur la limite de l'ultrafiltre $u[W]$ où $u$ est n'importe quel élément de $c$.