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Parallélépipède de volume max

Envoyé par Patrick314 
Patrick314
Parallélépipède de volume max
il y a six années
Bonjour à tous !

Voici une petite question sur laquelle je bloque :

parmi les parallélépipèdes rectangles de surface totale $S$, quels sont ceux de volume maximal ?

Je sais qu'il s'agit des cubes. En mettant en équation, notant $x$, $y$ et $z$ les côtés, le volume est $xyz$ et la surface $S=2xy+2yz+2xz$ et il s'agit donc de maximiser la fonction $(x,y) \mapsto \frac{xy(S-2xy)}{2(x+y}$ sur $\mathbb{R^}_+^\ast \times \mathbb{R^}_+^\ast $.
En calculant le gradient, je trouve comme seul point critique $(x_0,y_0)$ où $x_0=y_0=\sqrt{\frac{S}{6}}$ mais je n'arrive pas à prouver qu'il y a un maximum global en ce point, ou même seulement qu'il y a un maximum, ce qui réglerait le problème.

Quelqu'un a une idée ?

Merci d'avance !
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
déjà il ya la technique "bourrinage" qui consiste à calculer les dérivées secondes et la Hessiennes etc . C'est ennuyeux , mais ça marche !

Sinon, il y a un truc qu'on appelle le principe de symétrisation de Steiner. (désolé j'ai pas le temps de l'expliquer en détail).

Sinon, tu peux simplifier le problème en le ramenant à une seule variable : ton parallélépipède est de volume maximal à surface constante si et seulement si ses projections sur les plans (x,y) , (x,z) (y,z ) donnent des rectangles de surface maximale à périmètre constant.

d'ailleurs tu peux supposer par absurde que c'est pas un cube , dans ce cas l'une des faces sera forcément de surface plus grande qu'une autre, avec même périmétre, et donc le parallélépipède ayant deux fois la face la plus grosse (à la place de la plus petite , et à la place de la grosse comme au début) sera forcément plus gros que l'autre , ce qui contredit le fait que le parallélépipède initial soit de volume maximal...

désolé si je m'exprime mal , il est 1h 20 , bonne nuit :D
Patrick314
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
Merci beaucoup !
Je vais y réfléchir, mais je ne suis pas convaincu ( sauf par le premier point, que je ne connais pas mais je vais voir).
Le deuxième point mérite réflexion.
Pour le troisième, il me semble que la surface n'est pas constante, si ?

Mais quand même merci d'y réfléchir !
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
Bonjour,
justement non. J'ai mal formulé le troisième point. ça se rapporte en fait au deuxième. point. Le principe de symétrisation de Steiner démontre (mais je ne sais pas si ça peut s'appliquer ici) l'objet qui maximise le volume à surface constante est l'objet le plus symétrique. (ça justifie aussi , assez facilement, que la sphère soit l'objet optimal en général).

Concernant le premier point, je n'ai pas compris ta réponse, c'est simplement la généralisation pour une fonction de plusieurs variables du fait que, si une fonction à une variable admet un maximum local , alors la dérivée seconde est négative en ce point.

voir ici : [fr.wikipedia.org]

il suffit de calculer les 3 dérivées secondes de la fonction au point du maximum ( par symétrie, l'une des dérivée se déduit immédiatement de l'autre , en inversant x et y ) . et il suffit de montrer que la matrice Hessienne (matrice des dérivées secondes ) est définie négative/
Patrick314
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
Merci pour ces précisions.
Je suis d'accord pour le signe de la Hessienne, mais il permet de prouver qu'il y a un maximum local.
Ce que je n'arrive pas à prouver, c'est que ce maximum est global.
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
Mauvaise idée !

Bonjour.

Si $S$ est la surface totale, le volume du cube est $V_0$. Est-il compliqué de montrer que $xyz\le V_0$ ?

Cordialement.

NB : Je n'ai pas regardé les calculs.
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
La méthode des multiplicateurs de Lagrange marche parfaitement, (avec aussi l'évaluation de la signature du hessien), sinon on peut appliquer l'inégalité arithmético-géométrique au triplet $\Big(\dfrac 1 x, \dfrac 1 y, \dfrac 1 z\Big)$ :
$\Big(\dfrac 1 {xyz}\Big)^{\frac 1 3} \le \dfrac{\tfrac 1 x+\tfrac 1 y + \tfrac 1 z} 3$ avec égalité ssi $x=y=z$
Amicalement
Pappus
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
Existe-t-il des contre-exemples de fonctions numériques de plusieurs variables admettant un unique extremum local qui ne soit pas global?
Amicalement
Pappus
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
En transformant la fonction en coordonnées polaires, et avec quelques transformations trigonométriques ( $\sin (2) = 2 \sin(t) \cos(t)$ , et $\cos(t) + \sin(t) = \sqrt{2} \sin ( t + \pi /4 )$ ) .
On obtient : $ f( r, \theta) = \dfrac{ r \sin(2 \theta ) ( S - r²\sin(2 \theta) ) }{ 4 \sqrt{2} \sin( \theta + \pi /4 ) } $
Pour $theta$ fixée dans $]0, \pi /2[$ (c'est l'intervalle où on travaille), pour que la fonction soit positive, il faut que $ r \in [0, R_{\theta} ]$ , avec $ R_{\thera} = \sqrt{ \dfrac{S}{\sin 2\theta } } $.
La fonction $f_{\theta} ( r ) = f(r , \theta) $ est continue sur le compact $ [0, R_{\theta} ]$, donc y est bornée, et atteint son $\sup$.
Or la fonction est nulle sur les bords, donc le $\sup$ est forcément atteint à l'intérieur, c'est donc un extremum local. En dérivant on trouve qu'il est atteint en $ r_{\theta} =\sqrt{ \dfrac{S}{3\sin 2\theta } }$.
On pose donc $g(\theta} = f( r_{\theta} , \theta} $ . le maximum de $f$ est donc le maximum de $g$, il suffit d'étudier $g$ (qui est à une seule variable, définie sur $]0 , \pi /2 [ $ ), et de montrer que le maximum est atteint en $\pi /4$ (la fonction étant symétrique en ce point ). Ce qui permettra de conclure.


[Miskha : Les signes de ponctuation connexes (',', '.') ne prennent pas d'espace devant, mais toujours une espace derrière.
Les signes de ponctuation non connexes (';', ':', '!', '?') prennent toujours une espace devant et derrière. ;) AD]
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
Bonjour Pappus,


Regarder ici : le bon temps de grapher et Sieur Remarque


Cordialement.
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
Je continue ma preuve précédente.

on a : $g( \theta) = (\sqrt{\dfrac{S}{6}})^3 \dfrac{\sqrt{sin2\theta}}{sin(\theta + \pi /4)}$

je pose $V = (\sqrt{\dfrac{S}{6}})^3 $

on a : $ g(\theta) \ge V $ ssi $ sin(2\theta) \ge sin² ( \theta + \pi /4)$ ssi $ 2 sin( \theta) cos( \theta) \ge ( cos(\theta) + sin(\theta) )² /2 $ ssi $0\ge ( cos(\theta) - sin(\theta) )² $ , ssi $ sin( \theta - \pi /4 ) = 0$ , et compte tenu de l'intervalle sur lequel on travail , ceci est équivalent à $\theta = \pi /4$

Donc $V$ est la borne supérieur de $g$ (et donc de $f$ ) , et il est atteint uniquement en $\pi /4$ .

D'où le maximum de $f$ est atteint en $( R_m = \sqrt{\dfrac{S}{3}} , \theta_m = \pi /4 )$ , ce qui correspond en coordonnées cartésiennes à $x = y = \sqrt{\dfrac{S}{6}} $
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
L'embêtant avec ce problème est que le domaine de définition n'est pas compact.
Ne pourrait-on faire ce raisonnement a priori?
On regarde l'application: $(x,y,z) \mapsto \dfrac {V^2}{S^3}$
Elle est constante sur les droites épointées à l'origine: $t \mapsto (tx,ty,tz)$ et se factorise à travers le projectif qui est compact.
Il existe donc une constante $K>0$ telle que $V^2 \le K. S^3$ et on continue avec le calcul diff, etc, etc...
Amicalement
Pappus
Patrick314
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
Merci beaucoup pour toutes ces participations qui m'ont beaucoup aidé !!
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
Mon cher Patrick
Mon argument de compacité montre que pour $S$ constant, $V$ atteint son maximum.
Ensuite le calcul différentiel montre l'unicité de ce maximum.
Voici comment je rédigerai la méthode par le multiplicateur de Lagrange:
On a: $V(x,y,z) =xyz$ et la relation de liaison: $g(x,y,z) =yz+zx+xy=\dfrac S 2 $
Les conditions du premier ordre s'écrivent:
$V'_x - \lambda g'_x = yz -\lambda(y+z)=0$
$V'_y -\lambda g'_y =zx -\lambda(z+x)=0$
$V'_z-\lambda g'_z= xy-\lambda(x+y)=0$
Ce système admet la solution unique $x=y=z=2\lambda$
En reportant dans l'équation de liaison, on obtient:
$ \dfrac S 2 = 3\lambda^2$ et $V_{max} = 8\lambda^3$
Le calcul du hessien est donc inutile mais faisons le quand même par acquis de conscience.
Le hessien est la restriction de la forme quadratique (définie sur $\R^3$): $V'' -\lambda g''$ à l'espace tangent à la variété de liaison (qui est une quadrique) au point critique $(2\lambda, 2\lambda, 2\lambda)$.
Cet espace tangent a pour équation: $x+y+z = 0$
Comme $(V'' -\lambda g'')_{(2\lambda,2\lambda,2\lambda}(x,y,z)=2\lambda(yz+zx+xy)=-2\lambda(x^2+xy+y^2)$ est définie négative puisque de signature $(0,2)$, on a bien affaire à un maximum local qui est global vu l'argument de compacité.
Amicalement
Pappus
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par pldx1.
Re: Parallélépipède de volume max
il y a six années
On peut évidemment montrer avec la même technique l'inégalité arithmético-géométrique générale et même d'après mes souvenirs les inégalités de Holder.
Amicalement
Pappus
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