Parallélépipède de volume max

La méthode des multiplicateurs de Lagrange marche parfaitement, (avec aussi l'évaluation de la signature du hessien), sinon on peut appliquer l'inégalité arithmético-géométrique au triplet $\Big(\dfrac 1 x, \dfrac 1 y, \dfrac 1 z\Big)$ :
$\Big(\dfrac 1 {xyz}\Big)^{\frac 1 3} \le \dfrac{\tfrac 1 x+\tfrac 1 y + \tfrac 1 z} 3$ avec égalité ssi $x=y=z$
Amicalement
Pappus

En transformant la fonction en coordonnées polaires, et avec quelques transformations trigonométriques ( $\sin (2) = 2 \sin(t) \cos(t)$ , et $\cos(t) + \sin(t) = \sqrt{2} \sin ( t + \pi /4 )$ ) .
On obtient : $ f( r, \theta) = \dfrac{ r \sin(2 \theta ) ( S - r²\sin(2 \theta) ) }{ 4 \sqrt{2} \sin( \theta + \pi /4 ) } $
Pour $theta$ fixée dans $]0, \pi /2[$ (c'est l'intervalle où on travaille), pour que la fonction soit positive, il faut que $ r \in [0, R_{\theta} ]$ , avec $ R_{\thera} = \sqrt{ \dfrac{S}{\sin 2\theta } } $.
La fonction $f_{\theta} ( r ) = f(r , \theta) $ est continue sur le compact $ [0, R_{\theta} ]$, donc y est bornée, et atteint son $\sup$.
Or la fonction est nulle sur les bords, donc le $\sup$ est forcément atteint à l'intérieur, c'est donc un extremum local. En dérivant on trouve qu'il est atteint en $ r_{\theta} =\sqrt{ \dfrac{S}{3\sin 2\theta } }$.
On pose donc $g(\theta} = f( r_{\theta} , \theta} $ . le maximum de $f$ est donc le maximum de $g$, il suffit d'étudier $g$ (qui est à une seule variable, définie sur $]0 , \pi /2 [ $ ), et de montrer que le maximum est atteint en $\pi /4$ (la fonction étant symétrique en ce point ). Ce qui permettra de conclure.
[Miskha : Les signes de ponctuation connexes (',', '.') ne prennent pas d'espace devant, mais toujours une espace derrière.
Les signes de ponctuation non connexes (';', ':', '!', '?') prennent toujours une espace devant et derrière. AD]

Je continue ma preuve précédente.

on a : $g( \theta) = (\sqrt{\dfrac{S}{6}})^3 \dfrac{\sqrt{sin2\theta}}{sin(\theta + \pi /4)}$

je pose $V = (\sqrt{\dfrac{S}{6}})^3 $

on a : $ g(\theta) \ge V $ ssi $ sin(2\theta) \ge sin² ( \theta + \pi /4)$ ssi $ 2 sin( \theta) cos( \theta) \ge ( cos(\theta) + sin(\theta) )² /2 $ ssi $0\ge ( cos(\theta) - sin(\theta) )² $ , ssi $ sin( \theta - \pi /4 ) = 0$ , et compte tenu de l'intervalle sur lequel on travail , ceci est équivalent à $\theta = \pi /4$

Donc $V$ est la borne supérieur de $g$ (et donc de $f$ ) , et il est atteint uniquement en $\pi /4$ .

D'où le maximum de $f$ est atteint en $( R_m = \sqrt{\dfrac{S}{3}} , \theta_m = \pi /4 )$ , ce qui correspond en coordonnées cartésiennes à $x = y = \sqrt{\dfrac{S}{6}} $

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