ln(|x|) est localement intégrable?

aleph0
aleph0
dans Analyse
Bonsoir!

J'ai un exo de démontrer que ln(|x|) est une distribution sur R et calculer sa dérivée au sens des distributions. Le corrigé dit que c'est une distribution car ln(|x|) est élément de Lloc1(R). Est-ce que ln(|x|) localement intégrable? Merci!

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Il te suffit de le vérifier.
  • aleph0
    aleph0
    Je ne pense pas qu'elle soit localement intégrable. Mais dans ce cas comment démonter que c'est une distribution?
  • AlbanV
    AlbanV
    Bonjour,

    Si, si, elle est localement intégrable.

    Pour le vérifier, essayez par exemple de déterminer une primitive, ou bien d'utilser une comparaison avec une fonction "qui va bien" et dont on sait qu'elle converge en zéro.

    Bonne soirée.
  • Miskha
    Miskha
    essaie de l'intégrer sur un segment
  • aleph0
    aleph0
    Mais si on l’intègre sur un segment qui contient 0, la valeur sera infini, non ?
  • gerard0
    gerard0
    Fais le calcul, tu verras bien !

    Inutile de pleurer avant que ça fasse mal !!
  • Miskha
    Miskha
    Remarque : $ (x \ln x - x) ' = \ln x $
  • aleph0
    aleph0
    Merci! J'ai confondu le primitive et la dérivée de ln(|x|).
  • jeroM
    jeroM
    intègre sur $[ \epsilon ; 1]$ si la borne 0 t'inquiète, en passant à la limite et par parité de la fonction, on doit conclure.
  • aleph0
    aleph0
    Merci! J'ai cru que la primitive de ln(|x|) est 1/x...
  • Archimède
    Archimède
    La fonction $\ln(|x|)$ est majorée par $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$ au voisinage de $0$.
    Son intégrale impropre de $0$ à $1$ est donc convergente.
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