Suite récurrente double
Bonsoir à tous,
Fraîchement inscrit (mais déjà plusieurs questions posées ici ; avec des intervenants qui donnent envie de s'inscrire et être plus actif), je viens poser une question sur les suites doubles récurrentes.
Voilà, cette année mon prof nous a expliqué comment étudier les suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$ , avec, en général $f$ bien gentille, ou un exercice à Sthûce à la clé. Question : Existe-il des méthodes similaires pour étudier des suites du type : $u_{n+2}=f(u_{n+1})+f(u_n)$ ?
Bien sûr il y a toujours plein de questions et problèmes où l'on doit forger ses propres outils, mais existe-il un fond commun d'attaque (comme pour le cas d'une récurrence simple) ?
Si quelqu'un à des références sur le net je suis preneur !
Merci
PS. Bien sûr le cas où $f$ est affine est connu : ce sont les suites récurrentes linéaires d'ordre $2$. Ce qui est intéressant c'est quand $f$ devient moins gentille (mais pas trop méchante non plus, on peut dire que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur le bon domaine, honnête et fréquentable en somme
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Fraîchement inscrit (mais déjà plusieurs questions posées ici ; avec des intervenants qui donnent envie de s'inscrire et être plus actif), je viens poser une question sur les suites doubles récurrentes.
Voilà, cette année mon prof nous a expliqué comment étudier les suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$ , avec, en général $f$ bien gentille, ou un exercice à Sthûce à la clé. Question : Existe-il des méthodes similaires pour étudier des suites du type : $u_{n+2}=f(u_{n+1})+f(u_n)$ ?
Bien sûr il y a toujours plein de questions et problèmes où l'on doit forger ses propres outils, mais existe-il un fond commun d'attaque (comme pour le cas d'une récurrence simple) ?
Si quelqu'un à des références sur le net je suis preneur !
Merci
PS. Bien sûr le cas où $f$ est affine est connu : ce sont les suites récurrentes linéaires d'ordre $2$. Ce qui est intéressant c'est quand $f$ devient moins gentille (mais pas trop méchante non plus, on peut dire que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur le bon domaine, honnête et fréquentable en somme
) Réponses
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Posons $v_n=(u_n,u_{n+1}) $. Dans ce cas, $ v_{n+1}=g(v_n) $ où $ g $ est définie par $ g(x,y)=(y,f(x)+f(y)) $. Et nous voici ramené comme par magie à une récurrence «simple»...
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D'accord, merci, même si j'ai peur que dans ton "simple" se cache des choses parfois affreuses.
En fait c'est en étudiant les suites qui vérifient $u_{n+2}=\ln (1+u_{n+1})+\ln (1+u_n)$ que je me suis posé cette question. -
Bonjour,
Par exemple pour l'étude de $u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}$ j'ai pas de "méthode". Je regarde les valeurs d'adhérence possibles : $0$ et $4$. On peut se convaincre que la suite tendra toujours vers $4$.
Pour cela il me suffit de savoir que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est majorée. J'en déduirais qu'elle est bornée, ne peut avoir $0$ comme VA (par l'absurde) et qu'elle possède donc une unique VA donc converge (vers $4$).
Comment montrez-vous que cette suite est bornée ? Merci !
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Bonjour!
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