intégrale

Bonjour,
Jai une intégrale à calculer qui est
$$\int_1^{+\infty}\left(\frac{1}{E(t)}-\frac{1}{t}\right)dt$$
Cependant, j'ai toujours entendu dire que la notation $\int_a^b f(t)dt$ n'a un sens que si $f$ est continue sur $[a,b]$, ce qui n'est pas le cas ici !!

1) Donc puis-je calculer cette intégrale (je pense que oui puisque dans mon corrigé, elle vaut $\gamma$ (constante d'Euler))
2) Est-ce que
$$\int_1^x E(t)dt:=\sum_{k=1}^{E(x)-1}\int_k^{k+1}E(t)dt+\int_{E(x)}^xE(t)dt=\sum_{k=1}^{E(x)-1}\int_k^{k+1}E(t)dt+E(x)\{x\}$$
où $\{x\}$ est la partie fractionnaire !!
3) Si la fonction $f$ est continue par morceau sur $[a,b]$ (ce qui est le cas de $E(t)$) la notation $\int_a^b f(t)dt$ est-elle admise ??

merci