Convergence des distributions

Schwartzcop · August 2012

Bonsoir

On munit l'ev des distributions de la topologie "ponctuelle" associée à la famille de semi-norme (T---> |< T, phi >|)_phi où phi varie dans l'ensemble des fonctions tests.

On a par suite que T_n cvg vers T ssi pour tout phi < T_n-T, phi >--->0 quand n tend vers l'infini.

Ma question est, si on arrive à prouver que pour tout phi, < T_n-T, phi >--->0 quand n tend vers l'infini pour T_n suite de distribution et T juste linéaire.
Est-ce que T est une distribution aussi ? Comment le prouver si oui

[Il faut mettre ' ' derrière '<' sinon l'afficheur croit lire une bannière html, et la cache. AD]

olib · August 2012

Oui, c'est vrai. C'est une conséquence du théorème de Banach-Steinhaus dans sa forme générale.
Autrement; ça peut se faire directement.

C. de Pluquaire · August 2012

Bonne nuit,

Le mieux est de prendre la seconde formulation comme définition, mais il faut avoir la bénédiction de ton prof.

Sinon l'explication est celle de olib. Je ne me souviens plus s'il existe une démonstration directe et simple. B-S est toujours remplaçable, mais pas toujours trivialement (bosse glissante, ...).

Bien cordialement.

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