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Opérateur sur Lp

Envoyé par Désespéré. 
Désespéré.
Opérateur sur Lp
l’an passé
Bonjour,
Je suis désespéré. Je n'arrive pas à comprendre le passage suivant d'un article.

Soit $1<p<\infty$. Soit $T:L^p(\mathbb{R})\to L^p(\mathbb{R})$ un opérateur borné qui commute avec les translations.

Soit $\theta:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2 $ l'application définie par $\theta(x,y)=x+y$. Comment voir que pour toute $f \in L^p(\mathbb{R})$ on a
$$
(T^2f)\circ \theta=(T\otimes T)(f\circ \theta) ?
$$
où $T\otimes T$ est l'opérateur borné défini par densité sur $L^p(\mathbb{R}^2)$ par
$$
(T\otimes T)(f\otimes g)= Tf \otimes Tg
$$
où $f \otimes g$ est définie par $(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)$.

Merci d'avance
H
Re: Opérateur sur Lp
l’an passé
J'ai cherché 5/10 minutes sans rien trouver de concluant.

Des pistes ?

- observer ce qu'il se passe dans le cas où $T$ est un opérateur de convolution : $Tf(x)=f*K(x)$ pour une certaine fonction $K$. Essayer ensuite de transposer la preuve.
- essayer de passer par des bases agréables (par exemple, pour les fonctions de l'espace vectoriel engendré par les $1_I \otimes 1_J$ où $I$ et $J$ sont des intervalles de la forme $[k2^{-n},(k+1)2^{-n}]$ pour un $n$ fixé, on voit bien ce que fait l'opérateur $T \otimes T$).

Je n'ai suivi aucune de ces pistes, elles sont peut-être stupides.
H
Re: Opérateur sur Lp
l’an passé
Un plan ?

Une meilleure base : les fonctions de la forme $g*h$.

Au moins formellement, j'ai l'impression que l'on obtient rapidement :
$$
T \otimes T ((g*h) \circ \theta) = (Tg*Th) \circ \theta
$$
et
$$
Tg*Th = T^2 (g*h).
$$
Cela permettrait sans doute de conclure par densité.
louche
Re: Opérateur sur Lp
l’an passé
C'est louche : si $f=\mathbf{1}_{[0,1]}$, alors $f\in L^p(\R)$, mais $f\circ\theta\notin L^p(\R^2)$. Que veut alors dire $(T\otimes T)(f\circ\theta)$ ?
Désespéré
Re: Opérateur sur Lp
l’an passé
Merci je vais réfléchir.
Auteur:

Sujet:


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