Représentations de C(S1)

Représentation comment ? Unitaire ? Continue ? D'algèbre ? De C*-algèbre ?

Les représentations irréductibles de $C(S^1)$ sont les $ev_x : C(S^1) \to \C$, $f \mapsto f(x)$

C'est un cas particulier du théorème de Gelfand.

Si $X$ est un espace compact, $C(X)$ est une $C^*$-algèbre commutative. Une application continue $f: X \to Y$ induit $f^* : C(Y) \to C(X)$.

Si $A$ une $C^*$-algèbre commutative. Un caractère de $A$ est un morphisme $\chi : A \to \C$. Le noyau d'un tel caractère est un idéal maximal de $A$ et on note donc $Spm(A)$ l'ensemble des caractères de $A$. C'est un espace compact pour la topologie qui rend continue les applications $ev_a : \chi \mapsto \chi(a)$. Un morphisme $A \to B$ de $C^*$-algèbre induit une application continue $Spm(B) \to Spm(A)$.

Note qu'on a des morphismes canoniques $X \to Spm(C(X))$, $x \mapsto (\chi \mapsto \chi(x))$ et $A \to C(Spm(A))$, $a \mapsto (\hat{a}: \chi \mapsto \chi(a))$. Le théorème affirme que ce sont des isomorphismes. C'est équivalent au fait qu'une représentation irréductible d'une $C^*$-algèbre commutative est de dimension 1.

Au final, on a une équivalence contravariante entre
- la catégorie des $C^*$-algèbre commutative (non nécessairement unitaires)
- la catégorie des espaces topologiques (localement) compacts

Il me semble que tu confonds deux utilitsations du mot unitaire:

Une représentation d'un groupe $\rho: G \to Aut(H)$ si son image est dans le sous-groupe $U(H)$ des opérateurs unitaires.

Mais note que la représentation de l'algèbre correspondance $\rho': \C[G] \to End(H)$ n'a aucune chance d'atterir dans $U(H)$ puisque $\rho'(0) = 0$ n'est même pas inversible.

Donc qu'entends-tu par représentation unitaire d'une $C^*$-algèbre? Avec la bonne définition, il me semble que tous les caractères le sont.