Equation fonctionnelle

bonjour,
dans le cas où u(x_0)>0 je trouve plutôt que la suite est décroissante.

Je n'avais pas vu le lien donnant le texte complet du problème posé.
En fait, il revient à ce que j'avais dit : il s'agit de trouver les fonctions $f:R\rightarrow R$, dérivables en 0, telles que : $\forall x\in R,f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^{2}}$.
Dans un premier temps, on suppose seulement la continuité en 0, et cela suffit à prouver que la fonction $f$ est de trois sortes :
$f(x)=1$ pour tout $x\in R$,
$f(x)=-1$ pour tout $x\in R$,
$-1<f(x)<1$ pour tout $x\in R$.
Comme j'ai dit, et comme il est dit dans le problème, dans ce dernier cas on compose avec la fonction $\arg \tanh $.
C'est une méthode classique en matière d'équations fonctionnelles. L'équation fonctionnelle proposée étant celle de la tangente hyperbolique, on compose avec l'application réciproque de celle-ci pour obtenir une équation linéaire $g(2x)=2g(x)$.
La solution simple de cette dernière équation demande la dérivabilité en 0. C'était déjà posé au Concours général en 1985 (ça nous rajeunit pas, disait mon oncle Émile).
Ce que j'aimerais connaître, ce sont toutes les solutions partout continues, et pas seulement dérivables en 0, de cette équation $g(2x)=2g(x)$, ce qui permettrait de résoudre l'équation initiale avec la condition de continuité partout. La continuité en 0 ne me semble pas suffire pour obtenir quelque chose de raisonnable, mais il faut voir.
Je signale un article de Roger Cuculière dans "Quadrature" n° 74, 2009, sur l'équation fonctionnelle de la tangente hyperbolique, mais à deux arguments, comme on dit : $f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}$.