principe d'Hamilton et terminologie

Ça dépend un minimum de quoi, et local ou global.

Ben, ça minimise l’énergie, il me semble.

Bonjour

On obtient les équation d'Euler-Lagrange en écrivant $\delta S=0$.Dans les livres que j'ai eus entre les mains les auteurs précisent bien que c'est une condition de stationnarité.

Ce qui vous pose peut-être problème c'est qu'en général, en physique, les équations du mouvement réalisent un minimum de l'action. Minimum, que l'on trouve dans plusieurs domaines, comme le principe de Fermat en optique géométrique ou le principe de Maupertuis pour les systèmes à énergie constante.

Si on n'est pas en train de traiter un problème de physique, c'est peut-être différent (je ne sais pas).

Sinon, je ne vois pas ce que vous différenciez par les termes "statique" et "dynamique" dans "en statique oui mais pas en dynamique".

Juste pour compléter, pris sur la page action :

Gray a écrit:

The action (either S or W) is stationary for true trajectories; it is either a local minimum, or a saddle point (at second order the action is larger for some nearby trial trajectories and smaller for others, compared to the true trajectory action). Action is never a local maximum. (In relativistic mechanics (see below) two sign conventions for the action have been employed, and whether the action is never a maximum or never a minimum depends on which convention is used. In our convention it is never a minimum.)

où $S$ est l'action d'Hamilton et $W$ celle de Maupertuis.

Du coup la question que je me pose est : comment l'action peut-elle être globalement (sur toute la trajectoire) maximale si localement elle ne l'est jamais.

Cordialement,
Mister Da

J'essaie, le moins mal possible, de résumer l'étape d'après, telle que présentée par Feynman.

Le principe de moindre action (ou principe de Fermat pour ceux qui aiment les mots trop généraux) avant la MQ était un axiome

Feynman a donné une version vulgarisée dans matière et lumière d'une preuve qui le transformerait donc en théorème (conséquence d'axiomes plus fondamentaux)

1) L'idée est bien évidemment de considérer le multimonde (où la multihistoire). On imagine une horloge qui tourne dont l'aiguille est un vecteur (représentant de).

2) On considère tous les trajets possibles (et non ceux empruntant un truc du genre "le plus court chemin, etc")

3) L'aiguille est à midi quand le "truc" part de "départ". L'aiguille est "quelque part" (noté f(T)) quand le truc arrive à "arrivée", où T est le trajet suivi.

3bis) l'horloge est attachée au truc!!! (Ce qui permet de de ne pas restreindre ça à l'espace temps classique mais à n'importe quelle physique, dont la relativité)

4) pour chaque trajet T, le vecteur aiguille f(T) représente ce que les physiciens appellent "son amplitude de suivre le trajet T". C'est un truc qui marche comme une probabilité sauf que c'est un élément de $\C$ et non pas de $[0,1]$. Pour l'intant, il n'ya, contrairement aux apparences par vraiment "d'axiomes engagés" dans cette description car f n'a pas été précisée.

5) Ensuite, pour simplifier, on suppose que tout est fini. L'amplitude totale obtenue est la somme des amplitudes (exactement comme en proba). Seulement voilà, ce sont des vecteurs (unitaires en plus). Donc s'il y a anarchie, pour un ensemble X de trajets, on aura un $\sum_{T\in X} f(T)$ qui sera un vecteur très proche de $0$ (les aiguilles pointent sans régularité dans tous les sens et se compensent à l'addition)

6) Question: quels sont les groupes de trajets qui apportent la plus grosse contribution? Réponse: ce sont ceux où toutes les aiguilles pointent à peu près dans le même sens de telle sorte qu'à l'addition ça se renforce et non se compense.

7) Au voisinage d'un point (d'un trajet) où la dérivée s'annule, c'est à dire au voisinage V d'un trajet où $f$ ressemble très fortement à une constante, toutes les flêches f(T) pour T dans V sont très proche d'une même flèche u et leur somme est "très proche" (proportionnellement) de nu où n est le nombre de trajets de V

8) Quand on passe à l'infini, le bilan final est que "le trajet" apparent (tout ça n'a pas de sens dans le cadre multimonde) pour les habitants qui réfléchissent à tout ça sera toujours très proche d'un des trajets qui annule la "dérivée" ou plus précisément (car les trajets ne sont pas des nombres, donc il faut inventer des paramétrages et tout et tout, mais c'est routine) d'un des trajets au voisinage desquels la fonction $f$ est proche d'une constante

9) maximum, minimum (et même dérivée) n'ont finalement un rapport qu'indirect avec tout ça, si ce n'est que la dérivée "piste" ces trajets apparents. Bien évidemment, on n'a pas éliminé tous les axiomes, mais on a juste prouvé le principe de moindre action (ie le principe de Fermat en fait) en utilisant d'autres axiomes mais qui sont plus "fondamentaux" puisque ce sont juste ceux qui posent le cadre de la MQ générale (le fait de passer des probas classiques aux amplitudes et de ne pas considérer qu'on vit dans un unimonde

Salut Olib (et ravi de voir sur le forum, tu fais parfois de longues pauses),

A ce sujet, je pense que tu as du t'intéresser aux procèdures de quantification : non pas spécialement, je sais juste que le mot "renormalisation" est en gros l'étiquette qu'on met sur l'ensemble des stratégies qui permettent de passer de "fini" à "infini" dans ce que j'ai écrit ci-dessus (additionner toutes les amplitudes de trajets quand y en a une infinité...)

Je ne sais pas quantifier (techniquement), je sais "un peu" faire la réciproque (ie expliquer les apparences classiques from MQ)

personne ici ne voulait prouver le principe de "moindre action"...C'était juste une question technique sur la nature du point critique en physique oui ça j'avais bien compris, mais les gens semblaient dérouter par le mot "moindre" et il m'est apparu utile de fournir la raison (entre guillemets reconnue et consensuelle) qui "prouve" ce principe à partir de quelque chose de plus fondamental car dans cette "preuve" (ou pseudo preuve) on voit bien que le fait que ca soit minimum ,maximum ou juste critique n'a aucune importance, faut juste que "f soit constante" au voisinage de T" (avec mes notations)

Bonjour,

merci beaucoup olib pour cet article et ton éclairage. En effet, quand on lit la page 9 du livre de mécanique de Landau et Lifchitz on peut lire en note de bas de page relative au fait que S doit prendre la plus petite valeur possible :

Landau et Lifchitz a écrit:

Il convient cependant de noter que cette formulation du principe de moindre action n'est pas toujours valable pour la totalité de la trajectoire, mais seulement pour chaque partie suffisamment petite de celle-ci ; pour toute trajectoire, l'intégrale peut n'avoir qu'un extremum qui ne sera pas nécessairement un minimum. Cette circonstance n'est cependant pas essentielle pour la formation des équations du mouvement, qui n'utilise qu'une condition d'extremum.

où l'on remarque qu'il n'est effectivement jamais question de point selle comme tu le faisais remarquer.

Cordialement,
Mister Da

Bonjour,

dans cet article, les auteurs imposent explicitement (équation (13)) que l'on atteint un minimum et l'appellent la "condition de Legendre" (le lagrangien est convexe selon les vitesses).

Est-ce pour montrer que, dans ce cas particulier où le point critique de l'action est un minimum, l'Hamiltonien qu'ils ont défini atteint un maximum (équation (24)) ?

Merci par avance pour votre aide.

Cordialement,
Mister Da