la somme des inverses des carrés

Regarde ça: \verb+http://www.iecn.u-nancy.fr/~garet/agreg/wallis-zeta2.pdf+

C'est ce que je connais de plus simple. On peut eviter le epsilon en le choissant explicitement en fonction de n.

Il y a quand même des intégrations par parties (HP !)

Du Fourier sans le dire dans ce truc que j'ai rédigé il y a 10 ans à partir d'un problème du Terracher je crois : http://auriolg.free.fr/doc/analyse_ts.pdf

Il y a plusieurs preuves dans le sujet 1 du Capes 2007 :

Bonjour,

Dans ce message, le sujet du bac C - Aix-Marseille - 1981. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,432499,432611#msg-432611

Bonne lecture,

Amicalement.

A cette époquee, en terminale C c'était sérieux :

Pour $\zeta(2)$, il est listé ici $13$ preuves différentes http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/Curso/zeta2.pdf

C est le cahier de brouillon de cc quand il était en term .

Le manuel, c'était certainement la collection Riche. Comme vous l'avez vu, je regrette la baisse actuelle du niveau des études, mais je ne pare pas pour autant le passé de toutes les vertus, et je condamne les graves excès des prétendues "math-modernes", dont ce manuel était un exemple. Les bases de filtre en Terminale, non, merci.
C'était autour de 1968, toutes les folies étaient aux commandes... Les chefs de l'APMEP, initiateurs de ces dérives, n'ont jamais daigné procéder à une analyse autocritique.
Bien cordialement,
RC

Merci Cidrolin pour ta réponse, je n'ai pas (encore) ce manuel dans ma collection.

À propos du problème de CAPES 2007.
Énoncé intéressant, quoiqu'un peu poussif : c'est tellement prémaché qu'on se demande parfois si c'est un énoncé ou une solution ... Et cette rédaction en terme de suites me donne à craindre qu'on peut être certifié en 2012 sans savoir ce qu'est une série ...
Le mérite de cet énoncé est de présenter trois démonstrations et deux ou trois jolies conséquences.
Je vais donner quelques compléments.

Démonstration 1. Polynômes.
J'ai rencontré pour la première fois cette démonstration dans les années 70 de l'autre siècle, dans un très beau livre des russes Akiva et Isaak Yaglom : Challenging mathematicals problems with elementary solutions, Vol. II, Holden-Day, 1964. Ce livre a eu des rééditions Dover et il est encore disponible. Selon Wikipedia, on trouverait déjà cette démonstration dans un autre livre des jumeaux Yaglom, de 10 ans antérieur : Nonelementary Problems in an Elementary Exposition, mais je n'ai jamais vu celui-ci.

Cette démonstration a été souvent reproduite, et en particulier dans : E. Ramis, Exercices d'Analyse, Masson, 1968, recueil qui comporte nombre d'exercices encore intéressants. Je saisis cette occasion de saluer la mémoire d'Edmond Ramis (1918-1996), qui, en sus de son oeuvre d'auteur de traités, fut un doyen d'Inspection générale soucieux de défendre les mathématiques, et non un simple apparatchik.

Curieusement, l’American Mathematical Monthly d’avril 1973 republie cette démonstration, signée par un certain Ioannis Papadimitriou (?), comme si c'était une nouveauté. Va savoir pourquoi ...

À titre de comparaison, je joins une autre rédaction de mon cru, posée à des élèves de prépa-HEC première année. Vous noterez qu’en utilisant les propriétés les plus élémentaires des relations coefficients-racines, on trouve aussi la somme de la série $\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac{1}{n^{4}}$.

Bon, j’arrête pour l’instant, on y reviendra.
Bon dimanche.
RC

@ Raymond Cordier

Je suis très intéressé d'apprendre que la preuve est antérieure à Papadimitriou. Tout le monde répète qu'il est inventeur de la preuve.
Lorsque j'étais élève en 1991, notre prof de TC nous l'avait donné en DM. Vu le niveau très faible en algèbre aujourd'hui, il me semble que la relation coefficients-racines est loin de la portée des élèves. Mais peut être qu'un prof de TS me détrompera. Matsuoka me semble plus accessible (si l'on s'autorise le hors-programme de l'intégration par parties).

Le boum que vous venez d'entendre, c'est Sylvain tombant d'une armoire (normande).

amicalement,

e.v.

@ Sylvain : Le programme de mathématiques de Terminale S recèle des joyaux, comme:

Programme officiel de TS, page 5 a écrit:

Calculer les dérivées des fonctions $ x\mapsto \sqrt{u(x)} $, $ x\mapsto (u(x))^n $, $ x\mapsto \exp(u(x)) $, $ x\mapsto \ln(u(x)) $.

Calculer la dérivée d'une fonction $ x\mapsto f(ax+b) $ où $ f $ est une fonction dérivable, $ a $ et $ b $ deux nombres réels.

avec ce commentaire absolument désarmant de naïveté :

Programme officiel de TS, page 5 a écrit:

A partir de ces exemples, on met en évidence une expression unifiée de la dérivée de la fonction $ x \mapsto f (u(x)) $, mais sa connaissance n’est pas une capacité attendue.

Il est plus pratique d'énoncer et de démontrer une fois pour toute la formule de dérivation des fonctions composées; mais les concepteurs du programme ont du penser que c'était trop rapide et trop simple, et ils ont imaginé d'imposer de faire énoncer (et démontrer ?) 5 formules différentes, avant d'énoncer la formule simple qui permet de les retrouver toutes.

Naturellement, la formule de dérivation des fonctions composées doit être absolument cachée au maximum, puisqu'on attend des élèves qu'ils l'ignorent (ce qui se formule : «sa connaissance n'est pas une capacité attendue»).

Pour l'intégration, on notera :

Programme officiel de TS, page 8 a écrit:

L’intégration par parties n’est pas un attendu du programme.

et pourtant, quelques pages plus loin, on note une démonstration «ayant valeur de modèle» (repérée par un symbole spécifique) :

Programme officiel de TS, page 13 a écrit:

Démontrer que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $ \lambda $ est $ \frac{1}{\lambda} $

qui me semble délicate à réaliser sans glisser un mot sur l'intégration par partie.

Notez bien que le programme, suivi à la lettre, est beaucoup plus difficile que le programme précédent : les élèves ne voient que des cas particuliers, et doivent retenir une multiplicité de formules incongrues, là où une seule et unique formule suffisait précédemment. Je plains les élèves :-/

Il y a fort à parier que ce soit juste (comme d'habitude) une erreur matérielle et non une "décision" assumée d'avoir balancer ce fichier pdf de programmes sur les "téléscripteurs" (tu penses bien qu'aucun auteur sérieux ne pourrait endosser des idioties pareilles). Le vrai reproche que l'on puisse faire c'est surtout qu'on constate un manque de respect et un manque de finition manifeste de la part de l'entité qui signe.

Probablement que plusieurs participent à la rédaction de petits bouts de fichiers, puis nomment mal les fichiers lors des mises à jour, et le tout est recollé par une quelconque secrétaire qui n'y capte que dalle au chinois contenu donc est susceptible, en se gourrant dans les noms de fichiers, etc de recoller soit des brouillons, soit des tentatvies anciennes et annulées, etc, puis de mettre tout ça en ligne sur eduscol ou ailleurs. Cela fait plus de 5ans que c'est dénoncé de manière récurrente sur le forum (ce que raconte BR n'est le pire en plus, c'est dire).

Ce qui serait bien, c'est qu'il y ait un signataire, un vrai, qui devrait tout relire définitivement et assumer complètement le contenu. Toutes ces coquilles ne mettraient pas longtemps à disparaitre.

Ca arrivera peut-être le jour où suite à des copiés-collés hasardeux, on aura deux fois la paragraphe géométrie et 0 fois le paragraphe analyse?

@Alea : et on peut démontrer ça sans Fubini ni rien de sophistiqué ?

Merci. Ca fait une preuve assez astucieuse par contre du coup, même si c'est évidemment essentiellement la même idée.

Revenons au problème de CAPES 2007, qui donne trois démonstrations de la somme des inverses carrés des entiers.
La démonstration 2, intégrales de Wallis, a été posée à l'ESSEC en 2001 : http://www.faidherbe.org/~jdebarbieux/a2007/pdf/sujet02a.pdf
La démonstration 3, noyau de Dirichlet, m'est connue depuis longtemps, mais j'ignore l'origine de ces deux démonstrations, et ce serait bien de les trouver.
Bonne soirée.
RC

Je continue sur les démonstrations de : $\underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}$.
Je veux parler ici de la démonstration qui utilise deux calculs de l'intégrale double $I=\int \int_{D}\frac{dxdy}{1-xy}$, où $D=[0,1]\times [0,1]$.
D'une part, on considère $\frac{1}{1-xy}$ comme la somme de la série de terme général $(xy)^{n}$, et on intègre, ce qui donne la série ; d'autre part, on fait un changement de variables consistant à faire tourner de $\frac{\pi }{4}$ le domaine carré d'intégration, et on fait un calcul un peu laborieux, qui donne le résultat.
Il y a une exposé de cette démonstration dans le très beau livre : Aigner, Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer 1998, traduction française de Nicolas Puech : Raisonnements divins, Springer 2002, 2006.

L'origine de cette démonstration paraît mystérieuse. Il semble qu'on en trouve la première mention dans : William Judson LeVeque, Topics in Number Theory, Addison Wesley, 1956, Vol. I, p. 122, exercice 6, mais LeVeque aurait affirmé n'en pas connaître la source première.
On retrouve cette démonstration notamment dans : J. M. Monier, Analyse, Tome 2, Dunod Université, 1990, n° 5. 1. 11, p. 78.
Il y a des prolongements avec des démonstrations d'irrationalité, comme il é été dit ici :
Dirk Huylebrouck, Similarities of Irrationality Proofs for p, ln 2, $\zeta (2)$, and $\zeta (3)$, American Mathematical Monthly, March 2001, p. 222.

Mais voilà, j’ai toujours eu quelque scrupule à poser cela à des élèves. D’abord notre intégrale double est impropre, il faut donc s’assurer de sa convergence, qui ne va pas de soi. Ensuite, on somme la série sur tout le carré, donc aussi au point (1,1) où cette série diverge. Et l’interversion série-intégrale double ne me semble pas convenablement justifiée. C’est bien la peine de tarabuster les élèves en exigeant d'eux toutes ces précautions, pour passer joyeusement par-dessus quand ça nous chante !

Alors, pour sauver cette démonstration, il y a une idée simple comme l’œuf de Christophe Colomb : au lieu de$\frac{1}{1-xy}$, on intègre $\frac{1}{1+xy}$. L'intégrale double est alors une brave intégrale double d’une fonction continue sur un compact convexe, et l'on peut donner une expression du reste de la série géométrique avec majoration immédiate, et l’interversion se fait sur la somme partielle sans besoin de gros théorème, et la conclusion tombe toute seule. Bien sûr, on obtient désormais la série ALTERNÉE des inverses carrés, mais la série proprement dite s’en déduit sans peine.

Pour simplifier un peu plus, on n'intègre plus sur le carré susdit, mais sur le triangle qui est l’ensemble des $(x,y)\in R^{2}$ tels que : $0\leq x\leq y\leq 1$. On fait le changement de variable $x=u+v$, $y=v-u$, et le nouveau domaine d’intégration est l’ensemble des $(u,v)\in R^{2}$ tels que : $0\leq u\leq \frac{1}{2}$, $u\leq v\leq 1-u$ qui est sous la forme propice pour l’intégration, et l’on n’a pas même besoin de couper le domaine en deux comme dans la rédaction classique.

On obtient un exercice utile pour le maniement des fonctions circulaires, et sans souci.

Bien cordialement,
RC

@ aléa
C'est sans doute faisable, mais je ne l'ai jamais vu proprement rédigé et entièrement justifié, pas même dans le très beau livre que j'ai cité et que j'aime beaucoup, "Raisonnements divins", traduction de "Proofs from THE BOOK".

Je signale donc une simplification importante au moyen d'une idée toute simple, remplacer $\iint_{D}\frac{dxdy}{1-xy}$ par $\iint_{D}\frac{dxdy}{1+xy}$ et une idée auxiliaire, remplacer le carré par le triangle comme domaine d'intégration, afin d'obtenir un domaine d'intégration vraiment SIMPLE.

On a alors l'intégrale sans souci d'une fonction continue sur un compact, on fait la somme PARTIELLE, donc finie, d'une série géométrique, avec reste explicite, et l'on s'en sort sans usage de théorème profond, au moyen de la linéarité et de la positivité de l'intégrale seulement. Avec le remplacement du carré par le triangle, on n'a pas même besoin de l'additivité.

Et déjà sous cette forme, ce n'est pas immédiat car le calcul de l'intégrale après changement de variable est un exercice assez technique de maniement des fonctions circulaires. D'où l'intérêt de remplacer le carré par le triangle, car avec le carré, il faut couper le domaine d'intégration en deux après rotation, ce qui produit une double ration de calculs.

Je suis bien sûr favorable à ce qu'on pose des problèmes concernant les intégrales impropres et l'interversion série-intégrale, mais à chaque jour suffit sa peine.

Si ce n'est pas clair et si cela intéresse quelqu'un, je veux bien fournir le libellé précis de l'exercice.

Bien cordialement,
RC

[En LaTeX, il y a la commande \verb=\iint= pour l'intégrale double, \verb=\iiint= pour triple. AD]

Voici un libellé de l'exercice. La question difficile est la première, qui demande pas mal de technicité dans le maniement des fonctions circulaires, pour aboutir à la valeur numérique de l'intégrale. Là, je ne suis pas arrivé à simplifier. Mais ensuite, pas de problème avec la série, comme j'ai dit.
Qu'en pensez-vous ?
Bonne soirée.
RC

J'ajoute une démonstration dont on n'a pas parlé.
Elle est un peu longue, mais elle démontre en même temps d'autres résultats intéressants par eux-mêmes.
Soit l'intégrale d'Euler $F(s)=\int_{0}^{+\infty }\frac{dt}{1+t^{s}}$, pour $s>1$. On sait qu'il existe plusieurs méthodes pour la calculer, mais restons élémentaires.
Par IPP et CDV, on montre que, quand $s\rightarrow +\infty $ : $F(s)=1+\frac{2J}{s^{2}}+o(\frac{1}{s^{2}})$, où : $J=\int_{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{x}dx$.
Pour $n\in \N^{*}$, on calcule effectivement :$F(2n)=\frac{\pi }{2n\sin \frac{\pi }{2n}}$.
Comparant ces deux expressions, on en déduit : $J=\frac{\pi ^{2}}{12}$.
Et l'on conclut en prouvant classiquement : $J=\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}$.
Bonne journée.
RC

Le calcul de l'intégrale se trouve
> dans ce pdf avec notamment un changement de

N'y a-t-il pas une erreur dans le pdf ?
Ce serait pas Pi/4 plutôt que Pi dans le tout début ??

pancarte a écrit:

C'est sans doute hors-propos, mais comment vérifier l'intégrabilité quand x et y tendent vers 1 ?

Dans la mesure (ah: ah!) où la série qui définit $\zeta(2)$ est convergente à termes positifs, tu as la convergence (monotone) de ton intégrale.
Ceci dans le cadre de Lebesgue.

Dans le cadre de Riemann, la question ne se pose pas. Les fonctions à intégrer doivent être bornées.

Bon, on peut faire des contorsions et enlever des bouts de plus en plus petits. On peut aussi faire les pieds au mur dans un ascenseur en chute libre.

e.v.

> Par des changements de variables, on pouvoir
> arriver à des équivalents ou autre pour justifier
> que c'est intégrable.
>

les équivalents avec des fonctions de 2 variables, je sais point trop comment ça marche ...
avec des différentielles totales exactes comme on dit en physique peut être ?

C'est vrai qu'une formule même apprise par coeur s'oublie si on ne l'utilise pas fréquemment.
Cependant celle-ci se retrouve très rapidement en écrivant $\dfrac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\times\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ et en faisant tendre $x$ vers $x_0$.