Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
54 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

limite f(x)cos(x)

Envoyé par fanf 
limite f(x)cos(x)
il y a sept années
On se donne une fonction $f:[0,+\infty[\to\R$ continue telle que $\lim_{x\to+\infty}f(x)\cos(x)\in\R\cup\{-\infty,+\infty\}$.
Il faut démontrer que :

1) Sous les hypothèses précédentes alors on a en fait : $\lim_{x\to+\infty}f(x)\cos(x)=0$.
2) Si $f$ est continue, mais non uniformément continue alors il se peut que $\lim_{x\to+\infty} f(x)\cos(x)=0$ mais $\lim_{x\to+\infty} f(x)\ne0$ (Je ne trouve pas d'exemple...).
3) si $f$ est UC alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)\cos(x) = 0$ implique que $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$.

Merci !
JLT
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
avatar
Il y a plusieurs erreurs dans ton énoncé.
ev
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
avatar
Bonjour.

2) Tu construis une fonction $f$ nulle sur$[2k\pi;2(k+1)\pi]$ sauf un pic affine par morceaux $f((2k+1)\pi) = 1$ et la base du support de longueur $\frac1k$.

e.v.
JLT
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
avatar
@ev : je disais qu'il y avait une erreur d'énoncé car l'assertion exacte devrait être "$f$ ne tend pas vers 0" et non $\lim_{x\to\infty}f(x)\ne 0$".
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Pour 1) on peut considérer la suite $x_n=x_0+2n\pi$ avec $x_0\ne \pi/2,3\pi/2$, non ?
Ok ev j'essaie de voir ce que donne ta fonction. Merci.
@JLT quelles sont les autres erreurs ? Merci.
ev
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
avatar
Arf ! merci JLT !

amicalement,

e.v.

[un bon grog à la mirabelle et au plumard]
%Effectivement, sous l'hypothèse $\lim_{x\to+\infty} f(x)\cos x=0$, si $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ existe alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$.
JLT
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
avatar
@fanf : la première question m'a l'air fausse.

J'étais mal réveillé.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par JLT.
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Ok donc pour 1) si $L\in\R$, est-ce que ceci est juste ? Soit $x_n=2n\pi+y_0$ où $y_0\ne\pi/2,3\pi/2,etc.$ on a $f(x_n)cos(x_n)=Cte f(x_n)\to L$ donc $f(x_n)\to\frac{L}{Cte}$ et par conséquent on a nécessairement $L=0$ sinon on aurait que $f(x_n)cos(x_n)$ possède une limite et $f(x_n)$ possède une limite ce qui impliquerait que $cos(x_n)$ possède une limite. (je sens que j'écris une bêtise là !)
Des idées pour le 3) ?
Merci !
JLT
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
avatar
@fanf : il n'y a pas de bêtise dans ce que tu dis, sauf que tu n'aboutis pas à une contradiction à la fin.
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Oui en effet...
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
avatar
Très bel exercice, que je ne connaissais pas, et qui fait bien réfléchir...

Pour la question 1), c'est simple, on l'a dit. Si $g(x)=f(x)\cos x$ a une limite finie ou infinie quand $x\rightarrow +\infty $, alors la suite $g(\frac{\pi }{2}+n\pi )$ a la même limite, et comme c'est la suite nulle, terminé.

Pour la question 2), encore une bonne idée de prendre une fonction $f$ qui fait des pics, comme la fonction qu'on bricole pour donner un exemple de fonction n'ayant pas pour limite $0$ en $+\infty $ et avec intégrale $\int_{0}^{+\infty }f(t)dt$ convergente, dont on a parlé dans un autre fil ....

Juste pour la beauté du geste, on peut chercher une fonction $f$ de classe $C^{\infty }$ et non majorée sur $\R_{+}$. Je pense à $f(x)=\frac{x}{1+x^{4}\cos ^{2}x}$, qui satisfait visiblement à ces conditions.
On peut prendre d'autres exposants pour les $x$ en haut et en bas, mais ceux-ci conduisent à des calculs pas trop compliqués, et cette fonction $f$ se prolonge agréablement à $\R$ tout entier. J'ai un peu galéré pour prouver que la limite de $g(x)=f(x)\cos x$, quand $x\rightarrow +\infty $, est nulle, mais ça me semblait vrai, et j'ai fini par trouver en attendant ma copine Mireille dans mon auto, et je crois avoir prouvé que pour $x>\pi $, on a : $\left| g(x)\right| \leq \frac{x+\pi }{(x-\pi )^{2}}$. Cela peut faire une colle pour Math. Sup, chapitre FVR, mais hélas pas pour Spé, où j'officie...

Reste la question 3), du plus haut intérêt elle aussi, mais je ne vois pas encore...

Bonne dimanchade.

RC
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Bonjour Raymond, bonjour à tous. Pour la question 1) ton raisonnement est-il également juste si la limite n'est pas finie (i.e. $L=+\infty$ par exemple ) ?

Pour la question 2) je vais regarder ta fonction. Mais pour revenir sur la méthode de e.v. il y a deux choses qui me dérangent : la première, ce n'est pas très grave, mais j'ai l'impression qu'il vaut mieux prendre une fonctions dont le support sur $[k\pi,(k+1)\pi],k\ge0$ est de longueur $\frac{1}{2^k}$. Et je pense qu'il vaut mieux que cette fonction vaille 1 en $(2k+1)\frac{\pi}{2}$ non ? Pour qu'à l'infini les valeurs de $x$ telles que $f(x)\ne0$ soient au voisinage des $(2k+1)\frac{\pi}{2}$ où le $\cos$ est est proche de $0$ non ?

Pour la 3) je ne vois pas trop...
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Bonjour,

La fonction définie par $ f(x)=\dfrac{x}{1+x^{4}\cos ^{2}x}$ (proposée par Raymond) vérifie bien $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\cos(x)=0$.
Il suffit d'écrire $f(x)\cos(x)=\dfrac1x h(x^2\cos x)$ avec $h(t)=\dfrac t{1+t^2}$ qui est bornée sur $\R$.
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
1) Bien sûr puisque le résultat de composition des limites utilisé implicitement vaut pour $L \in \overline{\R}$.

3) On prend un $\varepsilon > 0$, auquel on associe un $\delta >0$ tel que $|x-y| \leq \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon/2$ avec l'uniforme continuité de $f$. On peut supposer que $\delta<\pi/8$ par exemple. On pose $\eta=\sin \delta >0$, et on choisit un $M>0$ tel que $|g(x)|\leq \eta\varepsilon/2$ dès que $x \geq M$. Pour les $x \geq M$ situés à une distance $\geq \delta$ de l'ensemble des zéros de cosinus, on a $|\cos x| \geq \eta$ ce qui permet de majorer $|f(x)|$ par $\varepsilon/2$. Pour les $x$ proches des zéros, on utilise l'uniforme continuité. Je te laisse mettre ça en forme.
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
avatar
@ jandri
Bravo, bravo, bravo.
Il n'y a pas même besoin de "calculus", puisque l'inégalité $\dfrac{2\left| t\right| }{1+t^{2}}\leq 1$ découle immédiatement d'une identité remarquable.
Le raisonnement se généralise à toute fonction $f(x)=\dfrac{x^{\alpha }}{1+x^{\beta }\cos ^{2}x}$, avec $\alpha <\frac 1 2{\beta }$, puisqu'alors :
$g(x)=f(x)\cos x=\dfrac{1}{x^{\frac 1 2{\beta }-\alpha }}\cdot \dfrac{x^{\frac 1 2{\beta }}\cos x}{1+(x^{\frac 1 2{\beta }}\cos x)^{2}}$.
Bonsoir.
RC
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
@ egoroffski : Merci. Je vois bien ce qu'il se passe dans le cas $|x-y|\ge\delta$, on a bien $\cos(x)\ge\sin(\delta)$ mais je ne vois pas comment ça marche dans l'autre cas...
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
bonsoir

supposons f fonction uniformément continue

si la limite lorsque x tend vers +oo de f(x).cos(x) est nulle
cela n'implique nullement que la limite de f(x) soit nulle pour x infinie

voici un contre-exemple: considérons la fonction toute simple exp(x) qui diverge pour x infinie
j'ai eu l'occasion de montrer par le raisonnement des aires engendrées par la courbe de la fonction dérivée g'(x) avec l'axe des abscisses
que limite pour x infinie de exp(x).cos(x) était nulle (la fonction cosinus impose sa limite nulle)

il est possible par ailleurs de calculer l'intégrale pour x variant de 0 à +oo de exp(x).cos(x).dx soit:
$$\int_0^{+\infty}e^x.cos(x)dx = -\frac{1}{2}$$

il suffit pour cela de calculer grâce aux formules d'Euler une primitive de exp(x).cos(x)
et de chercher sa valeur sur l'intervalle d'intégration de 0 à +oo

cordialement

PS: en fait le seul problème de la limite de f(x).cos(x) en l'infini
surgit lorsque f est elle-même alternée comme l'est cos(x)
alors la limite du produit n'est pas forcément nulle
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Je ne comprends pas l'argument. Mais de tout façon $exp$ n'est pas uniformément continue !
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Une remarque à propos de la généralisation de Raymond:
Pour $\alpha>0$ et $\beta>0$, l'intégrale sur $]0,+\infty[$ de la fonction définie par $ f(x)=\dfrac{x^{\alpha }}{1+x^{\beta }\cos ^{2}x}$ existe si et seulement si $ \alpha <\frac 1 2{\beta }-1$.
La condition $ \alpha &lt;\frac 1 2{\beta }$ n'est donc pas suffisante.
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
avatar
@ jandri
Dans le cas présent, on ne parle pas de la convergence de l'intégrale, il s'agit seulement d'exhiber une fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$, telle que $f(x)$ n'ait pas de limite en $+\infty$, mais que la limite de $g(x)=f(x)\cos x$, quand $x\rightarrow +\infty $, soit nulle.
Bon dimanche.
RC
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
@ Raymond Cordier

J'ai bien compris, j'ai simplement parlé de cette intégrale car tu en avais parlé hier en disant:

"Pour la question 2), encore une bonne idée de prendre une fonction qui fait des pics, comme la fonction qu'on bricole pour donner un exemple de fonction n'ayant pas pour limite 0 en $+\infty$ et avec intégrale $ \int_{0}^{+\infty }f(t)dt$ convergente, dont on a parlé dans un autre fil ... Juste pour la beauté du geste, on peut chercher une fonction de classe $ C^{\infty }$ et non majorée sur $ \mathbb{R}_{+}$"
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Hello Fanf,

Désolé du retard, je vais tâcher de préciser ce qui a pu ne pas te paraître parfaitement clair.

Je reprends les mêmes $\varepsilon,\delta,\eta,M$ que précédemment. Je fixe un $x \geq M$, que je peux écrire $x=n\pi + r$
avec $r \in [0,\pi[$.
1) Si $r \in [0,\pi/2-\delta] \cup [\pi/2+\delta,\pi[$ alors $|\cos x| \geq \eta$ et $|f(x)| \leq \varepsilon/2$, cf mon précédent message.
2) Si $r \in ]\pi/2-\delta,\pi/2]$, alors en notant $y=n\pi+\pi/2-\delta$, on a $|x-y| \leq \delta$, et donc
$|f(x)-f(y)| \leq \varepsilon/2$. Comme $|f(y)| \leq \varepsilon/2$ d'après le point 1, on en déduit $|f(x)| \leq \varepsilon$
(tu auras reconnu l'utilisation de $\left\lvert |a|-|b| \right\rvert \leq |a-b|$).
3) Si $r \in ]\pi/2,\pi/2+\delta[$, même topo qu'en 2, en s'appuyant cette fois sur $z=n\pi+\pi/2+\delta$.

Bon c'est sûrement la rédaction la plus moche que j'ai produite depuis longtemps, mais je suis trop fatigué pour chercher à
faire plus élégant...
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Merci egoroffski c'est très clair !
Re: limite f(x)cos(x)
il y a sept années
Je t'en prie !
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 139 781, Messages: 1 363 458, Utilisateurs: 25 300.
Notre dernier utilisateur inscrit Seth.


Ce forum
Discussions: 31 202, Messages: 288 811.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page