limite f(x)cos(x)
On se donne une fonction $f:[0,+\infty[\to\R$ continue telle que $\lim_{x\to+\infty}f(x)\cos(x)\in\R\cup\{-\infty,+\infty\}$.
Il faut démontrer que :
1) Sous les hypothèses précédentes alors on a en fait : $\lim_{x\to+\infty}f(x)\cos(x)=0$.
2) Si $f$ est continue, mais non uniformément continue alors il se peut que $\lim_{x\to+\infty} f(x)\cos(x)=0$ mais $\lim_{x\to+\infty} f(x)\ne0$ (Je ne trouve pas d'exemple...).
3) si $f$ est UC alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)\cos(x) = 0$ implique que $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$.
Merci !
Il faut démontrer que :
1) Sous les hypothèses précédentes alors on a en fait : $\lim_{x\to+\infty}f(x)\cos(x)=0$.
2) Si $f$ est continue, mais non uniformément continue alors il se peut que $\lim_{x\to+\infty} f(x)\cos(x)=0$ mais $\lim_{x\to+\infty} f(x)\ne0$ (Je ne trouve pas d'exemple...).
3) si $f$ est UC alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)\cos(x) = 0$ implique que $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$.
Merci !
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Réponses
2) Tu construis une fonction $f$ nulle sur$[2k\pi;2(k+1)\pi]$ sauf un pic affine par morceaux $f((2k+1)\pi) = 1$ et la base du support de longueur $\frac1k$.
e.v.
Ok ev j'essaie de voir ce que donne ta fonction. Merci.
@JLT quelles sont les autres erreurs ? Merci.
amicalement,
e.v.
[un bon grog à la mirabelle et au plumard]
%Effectivement, sous l'hypothèse $\lim_{x\to+\infty} f(x)\cos x=0$, si $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ existe alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$.
J'étais mal réveillé.
Des idées pour le 3) ?
Merci !
Pour la question 1), c'est simple, on l'a dit. Si $g(x)=f(x)\cos x$ a une limite finie ou infinie quand $x\rightarrow +\infty $, alors la suite $g(\frac{\pi }{2}+n\pi )$ a la même limite, et comme c'est la suite nulle, terminé.
Pour la question 2), encore une bonne idée de prendre une fonction $f$ qui fait des pics, comme la fonction qu'on bricole pour donner un exemple de fonction n'ayant pas pour limite $0$ en $+\infty $ et avec intégrale $\int_{0}^{+\infty }f(t)dt$ convergente, dont on a parlé dans un autre fil ....
Juste pour la beauté du geste, on peut chercher une fonction $f$ de classe $C^{\infty }$ et non majorée sur $\R_{+}$. Je pense à $f(x)=\frac{x}{1+x^{4}\cos ^{2}x}$, qui satisfait visiblement à ces conditions.
On peut prendre d'autres exposants pour les $x$ en haut et en bas, mais ceux-ci conduisent à des calculs pas trop compliqués, et cette fonction $f$ se prolonge agréablement à $\R$ tout entier. J'ai un peu galéré pour prouver que la limite de $g(x)=f(x)\cos x$, quand $x\rightarrow +\infty $, est nulle, mais ça me semblait vrai, et j'ai fini par trouver en attendant ma copine Mireille dans mon auto, et je crois avoir prouvé que pour $x>\pi $, on a : $\left| g(x)\right| \leq \frac{x+\pi }{(x-\pi )^{2}}$. Cela peut faire une colle pour Math. Sup, chapitre FVR, mais hélas pas pour Spé, où j'officie...
Reste la question 3), du plus haut intérêt elle aussi, mais je ne vois pas encore...
Bonne dimanchade.
RC
Pour la question 2) je vais regarder ta fonction. Mais pour revenir sur la méthode de e.v. il y a deux choses qui me dérangent : la première, ce n'est pas très grave, mais j'ai l'impression qu'il vaut mieux prendre une fonctions dont le support sur $[k\pi,(k+1)\pi],k\ge0$ est de longueur $\frac{1}{2^k}$. Et je pense qu'il vaut mieux que cette fonction vaille 1 en $(2k+1)\frac{\pi}{2}$ non ? Pour qu'à l'infini les valeurs de $x$ telles que $f(x)\ne0$ soient au voisinage des $(2k+1)\frac{\pi}{2}$ où le $\cos$ est est proche de $0$ non ?
Pour la 3) je ne vois pas trop...
La fonction définie par $ f(x)=\dfrac{x}{1+x^{4}\cos ^{2}x}$ (proposée par Raymond) vérifie bien $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\cos(x)=0$.
Il suffit d'écrire $f(x)\cos(x)=\dfrac1x h(x^2\cos x)$ avec $h(t)=\dfrac t{1+t^2}$ qui est bornée sur $\R$.
3) On prend un $\varepsilon > 0$, auquel on associe un $\delta >0$ tel que $|x-y| \leq \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon/2$ avec l'uniforme continuité de $f$. On peut supposer que $\delta<\pi/8$ par exemple. On pose $\eta=\sin \delta >0$, et on choisit un $M>0$ tel que $|g(x)|\leq \eta\varepsilon/2$ dès que $x \geq M$. Pour les $x \geq M$ situés à une distance $\geq \delta$ de l'ensemble des zéros de cosinus, on a $|\cos x| \geq \eta$ ce qui permet de majorer $|f(x)|$ par $\varepsilon/2$. Pour les $x$ proches des zéros, on utilise l'uniforme continuité. Je te laisse mettre ça en forme.
Bravo, bravo, bravo.
Il n'y a pas même besoin de "calculus", puisque l'inégalité $\dfrac{2\left| t\right| }{1+t^{2}}\leq 1$ découle immédiatement d'une identité remarquable.
Le raisonnement se généralise à toute fonction $f(x)=\dfrac{x^{\alpha }}{1+x^{\beta }\cos ^{2}x}$, avec $\alpha <\frac 1 2{\beta }$, puisqu'alors :
$g(x)=f(x)\cos x=\dfrac{1}{x^{\frac 1 2{\beta }-\alpha }}\cdot \dfrac{x^{\frac 1 2{\beta }}\cos x}{1+(x^{\frac 1 2{\beta }}\cos x)^{2}}$.
Bonsoir.
RC
supposons f fonction uniformément continue
si la limite lorsque x tend vers +oo de f(x).cos(x) est nulle
cela n'implique nullement que la limite de f(x) soit nulle pour x infinie
voici un contre-exemple: considérons la fonction toute simple exp(x) qui diverge pour x infinie
j'ai eu l'occasion de montrer par le raisonnement des aires engendrées par la courbe de la fonction dérivée g'(x) avec l'axe des abscisses
que limite pour x infinie de exp(x).cos(x) était nulle (la fonction cosinus impose sa limite nulle)
il est possible par ailleurs de calculer l'intégrale pour x variant de 0 à +oo de exp(x).cos(x).dx soit:
$$\int_0^{+\infty}e^x.cos(x)dx = -\frac{1}{2}$$
il suffit pour cela de calculer grâce aux formules d'Euler une primitive de exp(x).cos(x)
et de chercher sa valeur sur l'intervalle d'intégration de 0 à +oo
cordialement
PS: en fait le seul problème de la limite de f(x).cos(x) en l'infini
surgit lorsque f est elle-même alternée comme l'est cos(x)
alors la limite du produit n'est pas forcément nulle
Pour $\alpha>0$ et $\beta>0$, l'intégrale sur $]0,+\infty[$ de la fonction définie par $ f(x)=\dfrac{x^{\alpha }}{1+x^{\beta }\cos ^{2}x}$ existe si et seulement si $ \alpha <\frac 1 2{\beta }-1$.
La condition $ \alpha <\frac 1 2{\beta }$ n'est donc pas suffisante.
Dans le cas présent, on ne parle pas de la convergence de l'intégrale, il s'agit seulement d'exhiber une fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$, telle que $f(x)$ n'ait pas de limite en $+\infty$, mais que la limite de $g(x)=f(x)\cos x$, quand $x\rightarrow +\infty $, soit nulle.
Bon dimanche.
RC
J'ai bien compris, j'ai simplement parlé de cette intégrale car tu en avais parlé hier en disant:
"Pour la question 2), encore une bonne idée de prendre une fonction qui fait des pics, comme la fonction qu'on bricole pour donner un exemple de fonction n'ayant pas pour limite 0 en $+\infty$ et avec intégrale $ \int_{0}^{+\infty }f(t)dt$ convergente, dont on a parlé dans un autre fil ... Juste pour la beauté du geste, on peut chercher une fonction de classe $ C^{\infty }$ et non majorée sur $ \mathbb{R}_{+}$"
Désolé du retard, je vais tâcher de préciser ce qui a pu ne pas te paraître parfaitement clair.
Je reprends les mêmes $\varepsilon,\delta,\eta,M$ que précédemment. Je fixe un $x \geq M$, que je peux écrire $x=n\pi + r$
avec $r \in [0,\pi[$.
1) Si $r \in [0,\pi/2-\delta] \cup [\pi/2+\delta,\pi[$ alors $|\cos x| \geq \eta$ et $|f(x)| \leq \varepsilon/2$, cf mon précédent message.
2) Si $r \in ]\pi/2-\delta,\pi/2]$, alors en notant $y=n\pi+\pi/2-\delta$, on a $|x-y| \leq \delta$, et donc
$|f(x)-f(y)| \leq \varepsilon/2$. Comme $|f(y)| \leq \varepsilon/2$ d'après le point 1, on en déduit $|f(x)| \leq \varepsilon$
(tu auras reconnu l'utilisation de $\left\lvert |a|-|b| \right\rvert \leq |a-b|$).
3) Si $r \in ]\pi/2,\pi/2+\delta[$, même topo qu'en 2, en s'appuyant cette fois sur $z=n\pi+\pi/2+\delta$.
Bon c'est sûrement la rédaction la plus moche que j'ai produite depuis longtemps, mais je suis trop fatigué pour chercher à
faire plus élégant...