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Ouverts de R

Envoyé par fanf 
Ouverts de R
il y a sept années
Bonjour.
Les ouverts de $(\R,d)$ où $d(x,y)=|x-y|$ sont les réunion dénombrables d'intervalles ouverts. Pour le montrer, on peut construire sur un ouvert $O$ de $\R$ donné, une rélation d'équivalence : deux points $a$ et $b$ de $O$ sont en relation si et seulement si le segment $[a,b]$ reste dans $O$. On obtient alors que les classes d'équivalences sont des intervalles, qu'ils sont ouverts et qu'il existe une surjection de $\Q$ vers l'ensemble des classes d'équivalences (grace à la densité de $\Q$ dans $\R$).
Est-ce toujours vrai si l'on prend une autre distance ?
C'est surtout l'étape où l'on montre que les classes d'équivalences sont des ouverts qui me pose question :
Dans "mon" cas je dis que si l'on se donne un élement $x$ dans une classe d'équivalence $C$ alors $x$ est dans $O$ donc il existe $\epsilon>0$ tel que $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset O$. Alors pour $\epsilon'<\epsilon$, on a $[x-\epsilon',x+\epsilon']\subset O$ et donc $]x-\epsilon",x+\epsilon"[\subset C$ pour $\epsilon"$ assez petit...
ccnc
Re: Ouverts de R
il y a sept années
Citation

Est-ce toujours vrai si l'on prend une autre distance ?

Peux-tu énoncer l' énoncé précis "...d..." à propos d'une distance quelconque d pour lequel tu demandes si $\forall distance\ d: (...d...)$ ?
H
Re: Ouverts de R
il y a sept années
Remarque : $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset O$ donne directement $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset C$.

Pour ta question, tu peux regarder avec une distance qui induit la topologie discrète.
Re: Ouverts de R
il y a sept années
Avec la distance qui induit la topologie discrete les boules ouvertes sont les singletons et $\R$ tout entier. Toutes les parties de $\R$ sont à la fois ouvertes et fermées. Donc la réponse est non ? Les singletons ne sont pas des intervalles...
Re: Ouverts de R
il y a sept années
H écrivait:
-------------------------------------------------------
> Remarque : $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset O$ donne directement $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset C$.

En effet... merci
H
Re: Ouverts de R
il y a sept années
Pour moi les singletons sont des intervalles, mais effectivement on peut chipoter. Je pensais plutôt à des exemples comme $\R\setminus\Q$ qui est ouvert mais non dénombrable.
Re: Ouverts de R
il y a sept années
Pour la topologie discrète $\R-\Q$ est ouvert non dénombrable, ok. Mais quelle est la contradiction avec le fait que les ouverts doivent être réunion dénombrable d'intervalles ouverts ? muni de la distance usuelle on a $]a,b[$ non dénombrable... Je ne comprends pas ton exemple...
H
Re: Ouverts de R
il y a sept années
Avec la topologie usuelle, tout ouvert est réunion dénombrable d'intervalles (et chacun des intervalle est non dénombrable, mais c'est une autre affaire).

Avec la topologie discrète, l'ouvert $\R \setminus \Q$ n'est pas réunion dénombrable d'intervalles (même si on dit qu'un singleton est un intervalle (ce que les gens disent en général)).
Re: Ouverts de R
il y a sept années
Ah ok je comprends...
Rz
Re: Ouverts de R
il y a sept années
Bjr,comment peut on demontrer qu'un ensemble est dense dans R?
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