Ouverts de R

Bonjour.
Les ouverts de $(\R,d)$ où $d(x,y)=|x-y|$ sont les réunion dénombrables d'intervalles ouverts. Pour le montrer, on peut construire sur un ouvert $O$ de $\R$ donné, une rélation d'équivalence : deux points $a$ et $b$ de $O$ sont en relation si et seulement si le segment $[a,b]$ reste dans $O$. On obtient alors que les classes d'équivalences sont des intervalles, qu'ils sont ouverts et qu'il existe une surjection de $\Q$ vers l'ensemble des classes d'équivalences (grace à la densité de $\Q$ dans $\R$).
Est-ce toujours vrai si l'on prend une autre distance ?
C'est surtout l'étape où l'on montre que les classes d'équivalences sont des ouverts qui me pose question :
Dans "mon" cas je dis que si l'on se donne un élement $x$ dans une classe d'équivalence $C$ alors $x$ est dans $O$ donc il existe $\epsilon>0$ tel que $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset O$. Alors pour $\epsilon'<\epsilon$, on a $[x-\epsilon',x+\epsilon']\subset O$ et donc $]x-\epsilon",x+\epsilon"[\subset C$ pour $\epsilon"$ assez petit...