Ouverts de R
Bonjour.
Les ouverts de $(\R,d)$ où $d(x,y)=|x-y|$ sont les réunion dénombrables d'intervalles ouverts. Pour le montrer, on peut construire sur un ouvert $O$ de $\R$ donné, une rélation d'équivalence : deux points $a$ et $b$ de $O$ sont en relation si et seulement si le segment $[a,b]$ reste dans $O$. On obtient alors que les classes d'équivalences sont des intervalles, qu'ils sont ouverts et qu'il existe une surjection de $\Q$ vers l'ensemble des classes d'équivalences (grace à la densité de $\Q$ dans $\R$).
Est-ce toujours vrai si l'on prend une autre distance ?
C'est surtout l'étape où l'on montre que les classes d'équivalences sont des ouverts qui me pose question :
Dans "mon" cas je dis que si l'on se donne un élement $x$ dans une classe d'équivalence $C$ alors $x$ est dans $O$ donc il existe $\epsilon>0$ tel que $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset O$. Alors pour $\epsilon'<\epsilon$, on a $[x-\epsilon',x+\epsilon']\subset O$ et donc $]x-\epsilon",x+\epsilon"[\subset C$ pour $\epsilon"$ assez petit...
Les ouverts de $(\R,d)$ où $d(x,y)=|x-y|$ sont les réunion dénombrables d'intervalles ouverts. Pour le montrer, on peut construire sur un ouvert $O$ de $\R$ donné, une rélation d'équivalence : deux points $a$ et $b$ de $O$ sont en relation si et seulement si le segment $[a,b]$ reste dans $O$. On obtient alors que les classes d'équivalences sont des intervalles, qu'ils sont ouverts et qu'il existe une surjection de $\Q$ vers l'ensemble des classes d'équivalences (grace à la densité de $\Q$ dans $\R$).
Est-ce toujours vrai si l'on prend une autre distance ?
C'est surtout l'étape où l'on montre que les classes d'équivalences sont des ouverts qui me pose question :
Dans "mon" cas je dis que si l'on se donne un élement $x$ dans une classe d'équivalence $C$ alors $x$ est dans $O$ donc il existe $\epsilon>0$ tel que $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset O$. Alors pour $\epsilon'<\epsilon$, on a $[x-\epsilon',x+\epsilon']\subset O$ et donc $]x-\epsilon",x+\epsilon"[\subset C$ pour $\epsilon"$ assez petit...
Réponses
-
Est-ce toujours vrai si l'on prend une autre distance ?
Peux-tu énoncer l' énoncé précis "...d..." à propos d'une distance quelconque d pour lequel tu demandes si $\forall distance\ d: (...d...)$ ? -
Remarque : $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset O$ donne directement $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset C$.
Pour ta question, tu peux regarder avec une distance qui induit la topologie discrète. -
Avec la distance qui induit la topologie discrete les boules ouvertes sont les singletons et $\R$ tout entier. Toutes les parties de $\R$ sont à la fois ouvertes et fermées. Donc la réponse est non ? Les singletons ne sont pas des intervalles...
-
H écrivait:
> Remarque : $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset O$ donne directement $]x-\epsilon,x+\epsilon[\subset C$.
En effet... merci -
Pour moi les singletons sont des intervalles, mais effectivement on peut chipoter. Je pensais plutôt à des exemples comme $\R\setminus\Q$ qui est ouvert mais non dénombrable.
-
Pour la topologie discrète $\R-\Q$ est ouvert non dénombrable, ok. Mais quelle est la contradiction avec le fait que les ouverts doivent être réunion dénombrable d'intervalles ouverts ? muni de la distance usuelle on a $]a,b[$ non dénombrable... Je ne comprends pas ton exemple...
-
Avec la topologie usuelle, tout ouvert est réunion dénombrable d'intervalles (et chacun des intervalle est non dénombrable, mais c'est une autre affaire).
Avec la topologie discrète, l'ouvert $\R \setminus \Q$ n'est pas réunion dénombrable d'intervalles (même si on dit qu'un singleton est un intervalle (ce que les gens disent en général)). -
Ah ok je comprends...
-
Bjr,comment peut on demontrer qu'un ensemble est dense dans R?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres