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Norme et représentation d'une boule

Envoyé par scarsroga 
Norme et représentation d'une boule
il y a sept années
Salut ,

L'exercice suivant sur les normes est :

Soit $ E = \R[x] $ à coefs dans $\R$. $ \forall P de E $, on pose :
$ N(p) = \sup_{t\in[0,1]} |P(t) - P'(t) |\text{et } ||P||_\infty = \sup_{0\le k \le n} | a_k | $
Montrer que $N$ et $||\cdot ||_\infty $ sont deux normes sur $E $.

J'ai la correction partielle :
$ Soit P \in \R[x] et N(P) = 0 \implies \sup_{ t \in [0,1] } | P(t) - P'(t) | = 0 $
$ \forall t \in [0,1] , P(t) - P' (t) = 0 \implies P(t) = C . e^t $
$P$ étant un polynôme $ \implies C=0$ et $p=0 $
Puis il est écrit, pour le reste de la question c'est évident. Pour moi je ne le trouve pas !
Mais avant, pour ce qui est écrit, le passage à $ P(t) = C e^t $, je ne l'ai pas bien compris comment ?
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
bonjour,
c'est la résolution de l'équation différentielle $P' = P$ résultat classique.
ned
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
Pour "le passage" qui t'embête, c'est une équation diff.
Sinon, pour les deux autres propriétés à vérifier. Linéarité de la dérivée, et inégalité triangulaire, doivent permettent de s'en sortir ?
Cordialement.
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
avatar
Bonjour

Il me semble que l'on peut s'en sortir sans équation différentielle. Si on a $P(t)-P'(t)=0$ pour tout $t\in[0,1]$, le polynôme $P-P'$ a une infinité de racines, donc il est nul. Pour des rasons de degré, le seulpolynôme qui vérifie $P=P'$ est le polynôme nul.
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
Est-ce que c'est juste de faire cette démarche : $$ \sup_{ t \in [ 0, 1]} | \lambda P(t) - \lambda P'(t) | = |\lambda| \sup_{t \in [0,1]} | P(t) - P'(t) |
$$ Car mon prof nous a dit que c'est faux de faire cette démarche car vous ne savez pas que $ \lambda $ peut sortir du sup puisque ce n'est pas une fonction habituelle et ce n'est pas évident. Donc il adopte une autre démarche, en choisissant un Q particulier qui est le sup ...

Alors que j'ai vu la première démarche plusieurs fois !
ned
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
Pas compris ce que faisais ton prof. Si tu peux détailler. :)
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
Ce n'est pas tellement que c'est faux, c'est juste qu'il faut donner plus détails en fonction du niveau auquel on le rédige.

Quel est ce $Q$ dans la démonstration de ton prof ?
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
Bon je n'ai pas la démonstration pour cet exemple, mais pour un autre exemple qui est le suivant : $$ ||x||_\infty = \max_{ 1 \le k \le n} ( |x_k | )
$$ la démonstration de cette norme : $$ \exists p \in [1\ldots n]\text{ tel que } || \lambda x||_\infty = | \lambda x_p | = |\lambda| |x_p| = |\lambda| ||x||_\infty $$ et il fait de la même façon pour la démonstration de l'inégalité triangulaire !!
Et de même en utilisant le sup ...
Donc par analogie je me suis dit que pour cet exemple de polynôme il faudrait prendre un polynôme particulier qui est le sup ...
Mais c'est un peu ennuyeux alors qu'on peut faire directement.
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
Ou quasi-directement par double inégalité.
Si tu as un exercice où il faut vérifier que plusieurs fonctions sont des normes, et que celles-ci mettent en jeu un $\sup$, alors il est dans ce cas rentable de montrer que $\sup\{|\lambda x|,x\in S\}=|\lambda|\sup\{| x|,x\in S\}$.
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
MONTRER QU' espace vectoriel normé est un espace vetoriel topologique
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
avatar
Bonjour Au revoir Merci Bien cordialement
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
Re salut à tous !!
Bon pour la méthode cité utilisée par mon prof , c'étais juste pour les premières fois mais maintenant il fait directement !! Donc c'était juste pour nous montrer ceci d'une certaine manière !!
Pour la question : " MONTRER QU' espace vectoriel normé est un espace vetoriel topologique " : j'ai pas d'idée sur ceci et d'ailleurs le mot topologique je le lit partout mais je ne sais pas vraiment son sens !!
Et merci pour tous vos réponses
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
J'ai un autre exercice qui me pose problème et j'ai pas compris .
L'exercice est le suivant :
Montrer que $N$, définie sur $ \R^2$ par $N(x, y) = \max ( |x| , |y| , |x - y| ) $, est une norme sur $ \R^2$ . Représenter la boule unité ouverte.

Pour la démonstration de norme ça va. Pour la représentation, elle est donnée en correction par cette figure :
[attachment 25602 boule.PNG]


La boule est donnée par : $B (0,1) = \{ (x, y) \in R^2 ; |x| < 1,\ |y| < 1\text{ et } |x - y| < 1 \} $.
Pour $|x| <1$ et $|y| <1$ ça donne les 4 points $(1,0),\ (-1,0),\ (0,1),\ (0 ,-1 )$ Pour $|x-y| <1$ je n'ai pas su comment l'utiliser pour avoir cette figure.

Et une autre question : c'est quoi la différence, lors de la représentation, entre la boule ouverte et fermée ?
Et merci :)
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
Voilà une petite recette facile pour dessiner ta boule unité :
- dessines un repère du plan ;
- trace les droites d'équation $x=1$ et $x=-1$ ; cela découpe le plan en trois zones ;
- hachure les zones où $|x|>1$ ;
- trace les droites d'équation $y=1$ et $y=-1$ ; cela découpe le plan en trois zones ;
- hachure les zones où $|y|>1$ ;
- trace les droites d'équation $x-y=1$ et $x-y=-1$ ; cela découpe le plan en trois zones ;
- hachure les zones où $|x-y|>1$.
La partie qui reste non hachurée est la boule unité recherchée : pourquoi ?
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
J'ai suivit la procédure et la figure donnée ça donne dans le sens contraire de la figure ; Donc celle que j'ai obtenue est correcte . Mais de plus si
quelqu'un vérifie avec moi pour être sûre !

La partie non hachurée est la boule unité puisque on a éliminé les parties qui n'appartiennent pas à la boule .
Re: Démonstration de norme
il y a sept années
avatar
Bonne nuit,

Question: montrer qu'un espace vectoriel normé est un espace vectoriel topologique.
Il s'agit simplement de montrer que les applications suivantes sont continues:
s: E x E ---> E, (x,y) l---> x + y et h: lK x E ---> E, $\lambda$ l---> $\lambda$x
sont continues.
On peut le démontrer avec des suites, par exemple.

Bien cordialement.
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