Comparaison

Cidrolin · December 2012

Quel est le plus petit des deux nombres :$\log_23$ et $\log_35$ ?

Faire une réponse courte, sans calculette ni soroban.

Fin de partie · December 2012

Je sais ce qu'est un toboggan mais qu'est-ce un soroban? (un banc pour s'assoir quand on a du chagrin?)

ev · December 2012

Comme son nom l'indique, un そろばん est un boulier japonais.

bon dimanche,

e.v.

omega · December 2012

Moi non plus j'ignorais ce qu'est un soroban, mais j'ai appris.

Alors sans calculette, ni soroban, mais en sachant que $\sqrt{2}< 1,42$ et que $\sqrt{3}>1,7$.

Soit $y:=\log_23$ et $z=\log_35$. Alors $2^y=3$ et $3^z=5$.

Or $2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}<2\times 1,42=2,84$, donc $y>\frac{3}{2}$ et $3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt{3}>3\times 1,7= 5,1$ donc $z<\frac{3}{2}$.

D'où $\log_23>\log_35$

Fin de partie · December 2012

Omega:
Tu m'as grillé !!
Je venais juste de me rendre compte que $\log(2)\geq \log(\sqrt{3})=1/2\log(3)$

Cidrolin · December 2012

Bravo omega.

Il s'agit d'un des"killer problems", déstiné à bloquer l'entrée à l'université de Moscou,

des élèves d'origine juive, dans les années 70.

D'après Tanya Khovanova & Alexey Radul dans le Monthly de décembre 2012.

Un autre

26015

JLT · December 2012

Ca c'est simple. On a $|F(x_1)-F(x_2)|\le (x_1-x_2)^2$, donc $F'(x)=0$ pour tout $x$, d'où $F$ est constante.

Benoit RIVET · December 2012

$ 3^2>2^3 $ et $ 5^2<3^3 $ donc $ \log_3(5)<3/2<\log_2(3) $

Cidrolin · December 2012

Bravo JLT.

Un dernier : combien de chiffres pour écrire $125^{100}$ ?

Cordialement

Cidrolin

ned · December 2012

Combien de chifrre pour écrire : $125^{100}$ ?

Et bien, six :
1, 2, 5 encore le 1 et deux 0.
Facile ton jeu.

bs · December 2012

Bonjour,

Souvenir : les exercices proposés lors des QDM 12 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,558971 et QDM 13 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,560884 étaient également des "killer problems" destinés aux étudiants juifs pour les empêcher d'accéder à l'université de Moscou.

Amicalement.

Benoit RIVET · December 2012

Il s'agit de calculer la partie entière de $ a=\log_{10}(125^{100}) $ c'est à dire : \[ a=100\log_{10}\left(\left(\frac{10}{2}\right)^3\right)=300-300\log_{10}(2) \]
On sait que $ 2^{10}=1024 $, donc $ 10\log_{10}(2) $ est proche de $ 3 $, strictement supérieur à $ 3 $.
$ a $ est donc proche de $ 300-300\times \frac{3}{10} $. De plus, on a l'inégalité~: \[ a<300-300\times \frac{3}{10}=210 \]
L'erreur commise en arrondissant $ 10\log_{10}(2)\simeq 3 $ est~: \[ \epsilon=\log_{10}(1,024)=\frac{\ln(1,024)}{\ln(10)}<\frac{0,024}{\ln(10)} \]
L'erreur totale est $ 30\epsilon<1 $.

Il faut donc $ 209 $ chiffres pour calculer $ 125^{100} $.

PS: On me signale que je ne sais pas compter. La partie entière de $ \log_{10}(125^{100}) $ est égale à 209 ; donc le nombre cherché a 210 chiffres.