Intégrale et constantes célèbres
dans Analyse
Exercice. Soit le nombre $$ I := \int_{0}^{1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \right\} \: \mathrm{d} x $$ où $\left\{x\right\}$ désigne la partie fractionnaire de $x$ et $\psi$ est la fonction digamma telle que $\psi := \Gamma'/\Gamma$.
On a $I=0,5824160...$
Sauriez-vous reconnaître l’expression exacte de $I$ ?
Anselme-Olivier
On a $I=0,5824160...$
Sauriez-vous reconnaître l’expression exacte de $I$ ?
Anselme-Olivier
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Proposition. On a $$ \int_{0}^{1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \right\} \mathrm{d} x =
\gamma - 1 + \ln \left(1+1/\gamma\right),$$ où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni.
Preuve. On montre que \begin{align*}
\int_{0}^{1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \right\} \mathrm{d} x &= \sum_{k=1}^{\infty}\int_{\frac{1}{k+1}}^{\frac{1}{k}} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \right\} \mathrm{d} x\\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\int_{k}^{k+1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{u\right\}\right)} \right\}\frac{ \mathrm{d} u}{u^{2}} \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\int_{k}^{k+1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+u-k\right)} \right\}\frac{ \mathrm{d} u}{u^{2}} \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+v\right)} \right\}\frac{ \mathrm{d} v}{(v+k)^{2}} \\
&= \int_{0}^{1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+v\right)} \right\}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{ 1}{(v+k)^{2}} \: \mathrm{d} v\\
&= \int_{0}^{1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+v\right)} \right\}\psi'\! \left(1+v\right)\mathrm{d} v\\
&= \int_{0}^{1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+v\right)} \right\}(1-\psi \left(1+v\right))^{2}\dfrac{\psi'\! \left(1+v\right)\mathrm{d} v }{(1-\psi \left(1+v\right))^{2}}\\
&= \int_{1/(1+\gamma)}^{1/\gamma} \left\{ t \right\}\frac{1}{t^{2}}\:\mathrm{d} t \\
&= \int_{1/(1+\gamma)}^{1} t \: \frac{1}{t^{2}}\:\mathrm{d} t + \int_{1}^{1/\gamma} ( t-1 )\frac{1}{t^{2}}\:\mathrm{d} t\\
&=\gamma - 1 + \ln \left(1+1/\gamma\right). \end{align*} Cordialement
Anselme-Olivier
\begin{array}{ll}
\gamma + r - 2 + \ln \left(r+\gamma\right) - \ln \left(r+\gamma-1\right),& \mbox{$r$ $\in $ $[1, 2 - \gamma[$} \\ \\
\ln \left(r+\gamma\right) - \ln \left(r+\gamma-1\right), & \mbox{$r$ $\in $ $[2 - \gamma, +\infty[$}.
\end{array} \right. \end{align*} On constate que la fonction $r \rightarrow I(r)$ est 'miraculeusement' continue sur $[1,\infty[$.
Anselme-Olivier
J'ai tenté l'identification grâce au programme dont le principe est décrit dans l'article "Mathématiques expérimentales" :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
Mais le nombre de décimales connues par 0,5824160 était trop faible : le programme n'arrêtait pas de sortir des formules donnant bien ce nombre, sans pouvoir distinguer parmi elles une conjecture nettement intéressante.
J'ai donc du faire un calcul numérique préalable plus précis de l'intégrale. Finalement, avec 0,582416032951013 une conjecture intéressante est sortie en première ligne (et il s'avère que c'est la bonne formule) : copie d'écran ci-jointe. (Dans cette typographie, 'g' est la constante gamma, 'p' est la constante pi et 'C' est la constante de Catalan)
Le plus long a été de calculer une valeur numérique de l'intégrale avec une précision suffisante. Ensuite, le programme a sorti la formule en quelques minutes.
Je ne sais pas comment jandri a fait, mais il a été plus rapide que moi. Bravo !
En ce qui concerne la démonstration analytique, j'étais sur la bonne voie en éliminant les fonction "partie fractionnaire" grâce à la décomposition en série, de la même façon que tu as procédé. Mais là aussi, je n'ai pas éré assez vite pour terminer avant toi. Félicitations pour ta démonstration et cette belle formule !
.
Tu fais apparaître les constantes (d'Euler, Glaisher, dzeta(2), ....)
Miraculeusement.
Merci de nous offrir ces découvertes.
sherlockyac
[Et merci de rendre à Leonhard Euler (1707-1783) et à James Glaisher (1848-1928) leur majuscule bien méritée. AD]
J'ai fait pratiquement la même démonstration que celle d'Anselme-Olivier pour la calculer.
@JJ
Merci à toi, ayant forgé l'intégrale, il y a quelques semaines, j'étais donc... plus rapide !
L'algorithme que tu utilises reste impressionnant ! J'avais lu ton article avec beaucoup d'intérêt.
Comment as-tu procédé pour améliorer l'approximation numérique de l'intégrale ?
Bravo à toi pour tes publications, que je n'ai pas encore toutes parcourues !
@sherlockyac
Thanks !
@jandri
Aucun doute la dessus !
Cordialement
\int_{0}^{1} & \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \right\} \, \mathrm{d} x =
\gamma - 1 + \ln \left(1+1/\gamma\right), \\
\int_{0}^{1} & \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \right\}^{2} \mathrm{d} x =
1-\gamma +\frac{1}{\gamma}-\frac{1}{1+\gamma} +2 \ln \gamma,\\
\int_{0}^{1} & \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \right\}^{3} \mathrm{d} x =
2+\gamma -\frac{3}{\gamma}+\frac{1}{2\gamma^{2}} -\frac{1}{2(1+\gamma)^{2}} -3\ln \gamma, \\
\int_{0}^{1} & \small \left\{ \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \right\}^{1/2}\, \mathrm{d} x =
2 \sqrt{1+\gamma} - 2 - \sqrt{\gamma(1-\gamma)} + \arctan \sqrt{1/\gamma-1}. \end{align} etc.
Anselme-Olivier
le tableau noir pleins de nombres ?
merci chapati
Les principales indications concernant le programme en question sont données dans l'article "Mathématiques expérimentales" de JJ (le lien dans son post plus haut donne accès à l'article).
J'abonde totalement dans le sens de cet article.
Effectivement, l'écriture décimale $1.6449340...$ pour la somme infinie des inverses des carrés d'entiers naturels non-nuls avait conduit le prodigieux calculateur Euler vers la forme close $\dfrac{\pi^2}{6}$... La géniale idée de la démonstration que l'on connait est venue ensuite.
Quel tour de force !
Peux tu mettre en pdf ton article car j'ai essayé de
télécharger , j'ai l'impression qu'il faut etre inscrit face book
ce qui n'est pas mon cas
merci
\int_{0}^{1} & \dfrac{x^{2}}{2-\psi^{(2)} \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \, \mathrm{d} x =
\frac{1}{6} \ln \left(1+ \dfrac{1}{\zeta(3)}\right), \\
\int_{0}^{1} & \dfrac{x^{4}}{24-\psi^{(4)} \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \, \mathrm{d} x =
\frac{1}{120} \ln \left(1+\dfrac{1}{\zeta(5)}\right).
\end{align} Anselme-Olivier
$ \int_{0}^{1} & \dfrac{x^{n}}{n!-\psi^{(n)} \left(1+\left\{1/x\right\}\right)}dx$
et
$ \frac{1}{(n+1)!} \ln \left(1+\dfrac{1}{\zeta(n+1)}\right)$ ?
Proposition. On a, pour tout entier naturel $n$. \begin{align}
\int_{0}^{1} & \dfrac{x^{n}}{n!-(-1)^{n}\psi^{(n)} \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \, \mathrm{d} x =
\frac{1}{(n+1)!} \ln \left(1+ \dfrac{1}{\zeta(n+1)}\right)
\end{align} Anselme-Olivier
Edit : typo corrigé.
$\int_{0}^{1} & \dfrac{x^{a}}{\Gamma(a+1)-\psi^{(E(a))}
\left(1+\left\{1/x\right\}\right)} $ ?
Tu parles de cela:
http://fr.scribd.com/doc/14161596/Mathematiques-experimentales-
?
Pour le télécharger il faut s'inscrire (mais pas forcément à face de bouc).
\int_{0}^{1} & \dfrac{1}{1-\psi \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \, \mathrm{d} x =
\ln \left(1+ \dfrac{1}{\gamma}\right). \end{align} En fait, j'ai obtenu le résultat suivant.
Théorème. On a, pour tout entier naturel $n$. \begin{align}
\int_{0}^{1} & \dfrac{x^{n}}{z- \dfrac{(-1)}{n!}^{n}\psi^{(n)} \left(1+\left\{1/x\right\}\right)} \, \mathrm{d} x =
\frac{1}{(n+1)} \log \left(1+ \dfrac{1}{\zeta(n+1)+z-1}\right)
\end{align} ($\psi := \Gamma'/\Gamma$, $\left\{x\right\}$ partie fractionnaire de $x$, $z$ nombre complexe tel que les deux membres aient du sens.)
Les généralisations viennent après.
Bonne nuit.
Anselme-Olivier
Excusez ma réponse un peu tardive aux questions qui m’ont été posées ces derniers jours.
Les contingences festives en sont la cause…
@ Chapati :
Ce qui donne « le tableau noir plein de nombres » est un programme "artisanal" dont le principe de l’algorithme est expliqué dans l’article référencé précédemment. Il est écrit en langage Pascal, mais il aurait tout aussi bien être en Fortan, en Basic, ou en C… , selon le compilateur dont on dispose. En l’occurrence, j’ai utilisé le compilateur Delphi de Borland. Tel qu’il est actuellement, ce programme n’est ni convivial, ni portable, car il faut intervenir dans le code pour l’adapter au problème à traiter et le recompiler avec Delphi. Je dois même ajouter qu’il est devenu tellement touffu à cause des modifications successives que moi-même, je m’y perds lorsque je ne l’ai pas utilisé depuis un certain temps !
Mais c’est sans importance car ce programme est peu performant comparé à ce qui se fait avec du matériel professionnel beaucoup plus puissant et avec des bases de données de constantes et de fonctions largement plus étendues. Par exemple, le célèbre programme de Simon Plouffe, hébergé au LaSIM ( sous le nom de "Inverseur"). Toutefois, il semble qu’il ne soit plus accessible actuellement. J’espère que c’est provisoire.
@ Anselme-Olivier
Pour calculer numériquement une approximation plus précise de l’intégrale, je ne me suis pas trop fatigué : C’est Mathematica qui a fait le travail ( copie d’écran suivante). Le calcul n’est pas fait directement sur l’intégrale, mais sur une forme déjà élaborée (sans faire appel à une fonction "partie fractionnaire" et permettant de travailler avec Psi(x) uniquement sur la plage 1<x<2, ce qui est favorable pour la précision). La valeur numérique u0=x0-1 correspond à la racine de l’équation Psi(x)=0 dans cette plage.
Lorsque est sorti le résultat : 0,582416032851013 je n’avais aucune idée sur sa précision et sur le nombre de digits qu’il fallait retenir. Je l’ai donc utilisé tel quel en entrée du programme d’identification. Il en est sorti la fameuse formule, ce qui n’apportait aucune preuve de sa validité, seulement une conjecture qui semblait très plausible. La publication de ta démonstration apporte la preuve, que Jandri a également trouvée, ainsi que moi-même un peu plus tard.
En tout cas, bravo pour les généralisations publiées ensuite. Je suis persuadé que des formules encore plus générales doivent pouvoir être trouvées dans la même lignée, grâce à ta méthode astucieuse.
JJ.
Merci pour ces précisions.
Oui, des formules très générales existent, j'en ai trouvé une bonne partie...
Elle permettent d'ailleurs de relativiser certains résultats.
Je pense qu'il y a au moins un article à écrire.
Je vais m'y atteler.
Merci B....t.
Tu as raison, il faut faire gaffe, certains calculs peuvent rendre fou.
Il faut trouver la bonne distance...
Mais parfois, même $50\%$ de l'objectif atteint cela fait plaisir, n'est-ce pas : \begin{align} \displaystyle \int_{1/2}^{1}\bigg\{ \frac{1}{1-\left\{ 1/x \right\}}\bigg\} \: \mathrm{d} x &= \dfrac{ 1}{2}- \dfrac{1}{4}\gamma- \dfrac{1}{4}\ln 2 \end{align} Cordialement
Anselme-Olivier
\int_{1/3}^{1}\bigg\{ \frac{1}{1-\left\{ 1/x \right\}}\bigg\} \: \mathrm{d} x &= \dfrac{2}{3}- \dfrac{13}{36}\gamma+\dfrac{\sqrt{3} \pi}{54}- \dfrac{13}{36}\ln 2- \dfrac{1}{18}\ln 3. \end{align} Edit : typo corrigé
Anselme-Olivier
J'en ajoute encore une:
$\displaystyle \newline \int_{1/4}^{1}\bigg\{ \frac{1}{1-\left\{ 1/x \right\}}\bigg\} \: \mathrm{d} x=\dfrac{3}{4}- \dfrac{61}{144}\gamma+\dfrac{\sqrt{3} \pi}{54}- \dfrac{61}{144}\ln 2- \dfrac{17}{144}\ln 3+\dfrac1{32}\pi.$
Mais l'intégrale suivante fait intervenir $\displaystyle \int_0^1\dfrac{t^3dt}{1+t+t^2+t^3+t^4}$ que Maple calcule sous une forme peu sympathique!
+ \dfrac{\sqrt{3} \: \pi}{54 }+\dfrac{1}{200}\sqrt{10+2\sqrt{5}} \: \pi+ & \dfrac{1}{1000}\sqrt{50+10\sqrt{5}} \: \pi-\dfrac{\sqrt{5}}{100} \: \ln \left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} \right) -\dfrac{1813}{3600}\ln 2-\dfrac{17}{144}\ln 3-\dfrac{1}{100}\ln 5 \nonumber
\end{align} Anselme-Olivier
Pour l'intégrale $\displaystyle \int_0^1\dfrac{t^3dt}{1+t+t^2+t^3+t^4}$, on peut par exemple aider Maple en écrivant $$ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{t^3}{1+t+t^2+t^3+t^4} \: {\mathrm{d}t}= \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-t^4}{1-t^5} \: {\mathrm{d}t} - \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-t^3}{1-t^5} \: {\mathrm{d}t}$$ puis le changement de variable $u=t^5$ fait apparaître la fonction digamma aux valeurs $\psi(k/5)$ avec $k=1,2,3,4$, expressions qui se réduisent.
\int_{1/2}^{1}\bigg\{ \frac{1}{1-\left\{ 1/x \right\}}\bigg\}^{3} \: \mathrm{d} x &= \dfrac{1}{32} - \dfrac{1}{4}\gamma+\dfrac{3}{4}\ln A, \\
\int_{1/2}^{1}\bigg\{ \frac{1}{1-\left\{ 1/x \right\}}\bigg\}^{4} \: \mathrm{d} x &= -\dfrac{5}{48} - \dfrac{1}{4}\gamma+\dfrac{3}{2}\ln A-\dfrac{9}{16}\dfrac{\zeta(3)}{\pi^2}. \end{align} Anselme-Olivier
(La première plaît à J. Sondow.)
Quelle soit riche de succès et de satisfactions !
Proposition 1. Soit $n$ un entier naturel non nul. On a \begin{align} \displaystyle \int_{1/n}^{1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\left\{1/x\right\}} \right\} \mathrm{d} x = \sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k^{2}} \: \psi \left(2-\dfrac{1}{k}\right)- \sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k^{2}}\ln \left(1-\dfrac{1}{k}\right), \end{align} où $\left\{x\right\}$ désigne la partie fractionnaire de $x$ et $\psi := \Gamma'/\Gamma.$ On a bien une somme finie à droite. Les plus curieux peuvent passer cette formule dans la moulinette Maple ou Mathematica afin d'observer ce qu'elle produit... Remarquons que l'on pourrait expliciter les valeurs prises par la fonction $\psi$ sur les arguments rationnels à l'aide de la formule de Gauss.
Proposition 2. On a \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{1} \small \left\{ \dfrac{1}{1-\left\{1/x\right\}} \right\} \mathrm{d} x = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\zeta(k+1)-1\right)\left(1-\zeta^{*}(k)\right)+\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k} \left(\zeta(k+2)-1\right) \end{align} où $\zeta^{*}(k):= \zeta(k)$ lorsque $k=2,3,...$ et $\zeta^{*}(1):= \gamma$, la constante d'Euler. Concernant cette dernière intégrale proposée à la résolution par Benoît Cloitre, je serais très étonné que quelqu’un trouve une expression plus simple que celle de la proposition 1 dans laquelle $n$ est remplacé par l'$\infty$ ou plus simple que l'expression de la proposition 2. Une précision numérique très grande de la dernière intégrale devient maintenant plus accessible par la proposition 2.
Cordialement
Anselme-Olivier
(et dont chacun pourra aussi profiter) :
Merci à JJ pour sa carte, je serai plus prosaïque en souhaitant une excellente année aux amateurs de formules alambiquées.
(n'y a t-il pas quelques modifications typographiques à faire : la borne dans l'intégrale de gauche est-elle vraiment l'infini ? l'ordre de composition entre $\psi$ et la partie fractionnaire $\left\{ \right\}$ à gauche du signe égal est-il le bon ?) Merci à toi.
Merci à toi Benoit.
Cela m'étonnerait vraiment que l'on puisse simplifier plus avant les sommes infinies de $\zeta(k)$ dans la dernière intégrale, quelque soit le bout par lequel on commence.
Anselme-Olivier
Où avais-je la tête ? (Je ne vous le dirai pas...) ::o
Les corrections ont été portées sur la carte de voeux.
Bien cordialement
JJ
Dans l'exemple d'application, il faut ôter le f dans l'intégrande, et je pense le moins 1 dans le résultat à droite.
Ah les lendemains de réveillon...
En ce qui concerne le -1 à droite de la dernière formule, je l'ai bien dans ma feuille de calcul. Je me suis peut-être trompé, mais j'ai la flemme de vérifier. En conséquence, il reste là en attendant des jours meilleurs.
@+
Peut-on avoir les démonstrations de calculs de ces intégrales ?
As-tu écrit un papier disponible en pdf ?
Merci
Tu parles des deux dernières intégrales plus haut ou de toutes celles du fil ?
Bonjour à tous,
Moi qui suis très fan de ce genre de formules
Une petite preuve de ta formule :
\begin{align*}
\int\limits_{{1 \mathord{\left/
{\vphantom {1 2}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} 2}}^1 {\left\{ {{{\left( {1 - \left\{ {{x^{ - 1}}} \right\}} \right)}^{ - 1}}} \right\}dx} &= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\int\limits_{{{(1 - ({{(k + 1)}^{ - 1}} - 1))}^{ - 1}}}^{{{(1 - ({k^{ - 1}} - 1))}^{ - 1}}} {\left( {{{\left( {1 - \left( {{x^{ - 1}} - 1} \right)} \right)}^{ - 1}} - k} \right)dx} } \\
\int\limits_{{1 \mathord{\left/
{\vphantom {1 2}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} 2}}^1 {\left\{ {{{\left( {1 - \left\{ {{x^{ - 1}}} \right\}} \right)}^{ - 1}}} \right\}dx} &= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{2}\left( {1 - \ln 2} \right) - \frac{1}{4}\left( {\psi \left( {n + \frac{3}{2}} \right) - \ln (2n + 1) + \gamma } \right)} \right) \\
\int\limits_{{1 \mathord{\left/
{\vphantom {1 2}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} 2}}^1 {\left\{ {{{\left( {1 - \left\{ {{x^{ - 1}}} \right\}} \right)}^{ - 1}}} \right\}dx} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\gamma - \frac{1}{4}\ln 2
\end{align*}
En attendant tes autres découvertes ...
Voici un nouveau résultat.
Exercice. Établir que $$\displaystyle \int_{0}^{1} \psi \left(x + \left\{ 1/x \right\}+1\right) = \dfrac{1}{2} \ln 2.$$ $\left\{x\right\}$ partie fractionnaire de $x$, $\psi$ fonction digamma telle que $\psi :=\Gamma'/\Gamma.$
Cordialement
Anselme-Olivier
On a \begin{align} \displaystyle
\int_{1/2}^{1}\bigg\{ \frac{1}{1-\left\{ 1/x
\right\}}\bigg\}^{2} \, \: \mathrm{d} x &=
\dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{4}\gamma, \\
\int_{1/2}^{1}\bigg\{ \frac{1}{1-\left\{ 1/x
\right\}}\bigg\}^{3} \: \mathrm{d} x &=
\dfrac{1}{32} -
\dfrac{1}{4}\gamma+\dfrac{3}{4}\ln A, \\
\int_{1/2}^{1}\bigg\{ \frac{1}{1-\left\{ 1/x
\right\}}\bigg\}^{4} \: \mathrm{d} x &=
-\dfrac{5}{48} -
\dfrac{1}{4}\gamma+\dfrac{3}{2}\ln
A-\dfrac{9}{16}\dfrac{\zeta(3)}{\pi^2}.
\end{align} Anselme-Olivier
(La première plaît à J. Sondow.)
et pour 1/3 au lieu de 1/2 pour le cas carré (en espérant de ne pas avoir des erreurs) :
$$\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left\{ {\frac{1}{{1 - \left\{ {{x^{ - 1}}} \right\}}}} \right\}}^2}dx} = \frac{{29}}{{108}} + \frac{1}{{54}}\ln 3 - \frac{5}{{27}}\ln 2 - \frac{1}{9}\ln \pi + \frac{2}{9}\ln \Gamma \left( {\frac{1}{3}} \right) - \frac{{13}}{{36}}\gamma + \frac{1}{{54}}\pi \sqrt 3.$$
Est-ce que tu as les formules générales avec 1/n pour le cas carré, cube, et la puissance 4 ?
\right\}}^c}dx} $$ avec $a$ entier $>0$, $b$ entier $b<0$, $c$ entier $>0$.
Merci.
Mets-toi au boulot.
Anselme-Olivier
&\quad \Big( \ln \left(1-1/\nu \right) +\left(2-1/\nu\right)^{\ell-k} \zeta'(-k,2-1/\nu) -\left(1-1/\nu\right)^{\ell-k} \zeta'(-k,1-1/\nu) \\ & \quad - \dfrac{\left(2-1/\nu\right)^{\ell-k} B_{k+1}(2-1/\nu) - \left(1-1/\nu\right)^{\ell-k} B_{k+1}(1-1/\nu)}{k+1} H_{k} \Big) \Big),
\end{align*} avec
$\left\{x\right\}$ : partie fractionnaire de $x$,
$\psi $ : fonction digamma telle que $\psi := \Gamma'/\Gamma $,
$\zeta(\cdot,\cdot)$ : fonction zeta de Hurwitz,
$B_{k}(\cdot)$ : polynôme de Bernoulli,
$H_{n}$ : nombres harmonique.
Merci d'avance à AD pour la mise en forme.
[À ton service.
edit : formule corrigée