exercice

ouss
ouss
dans Analyse
un petit exo .
soit une application continue d'un espace topologique E dans R muni de sa topologie usuelle
1) montrer que si E est compact et connexe alors f(E) est un intervalle ferme et borne de R

comme f est continue alors elle concerve les proprietes topologiques ---> f(E) est compact et connexe or les seules partie connexes dans R sont les intervalles alors f(E) est un intervalle
pour ( ferme et borne je pense que ca vient de la compacité)
2) montrer que {x ∈ E/ f(x)>0} est un ensemble ouvert de E
on a {x ∈ E/ f(x)>0} = f^-1 ( ] 0,+inf [ )
] 0,+inf [ est ouvert et (f^-1) continue
alors f^-1 ( ] 0,+inf [ ) est ouvert ce qui implique que {x ∈ E/ f(x)>0} est ouvert de E

3) montrer que {x ∈ E/ 1≤f(x)≤2} est ferme de E
on a {x ∈ E/ 1≤f(x)≤2} = f^-1 ([1,2])
or [1,2] est ferme et (f^-1) continue alors {x ∈ E/ 1≤f(x)≤2} est ferme dans E
Question: Est-ce correct ?
Mercii

Réponses

  • ouss
    ouss
    personne pour la correction ??
  • Ga?
    Ga?
    comme f est continue alors elle con[ s]erve les proprietes topologiques
    Par exemple, si U est ouvert et f continue, f(U) est ouvert ?
  • Sylvain
    Sylvain
    Il me semble que l'image d'un compact (resp. d'un connexe) par une fonction continue est un compact (resp. un connexe), donc dans le cas de $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle, l'image par une fonction continue d'un compact connexe est un intervalle (connexe de $\R$ muni de sa topologie usuelle) fermé et borné (compact de $\R^{n}$ muni de sa topologie usuelle avec ici $n=1$).
  • ouss
    ouss
    oui c est juste la continuite conserve les proprietes topologique
  • Ga?
    Ga?
    Ton argument n'est pas valable.
    Prends $f:\R\to \R$ défini par $f(x)=x^2$. La fonction $f$ est continue, d'accord ? L'intervalle $]-1,1[$ est un ouvert de $\R$, d'accord ? Est-ce que $f(]-1,1[)$ est un ouvert de $\R$ ?
    Tu ne peux pas te contenter de dire que "$f$ conserve les propriétés topologiques", parce que ce n'est pas vrai en général. Il faut un argument plus spécifique.
    [size=x-small]Merci AD !
    [À ton service :) AD][/size]
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    @ ouss: les propriétés topologiques sont celles qui sont conservées par les homéomorphismes i.e. les bijections bicontinues.
    Par exemple les notions d'ouverts (et de fermés), de parties denses, de séparabilité, etc... sont topologiques. Les notions de compact et de connexes aussi.
    Mais, ces deux dernières notions sont "encore plus topologiques" que les autres, puisque leur image par une application continue (bijective ou pas, d'inverse continu ou pas, quand il existe) est de même type (compact, connexe).
    Par exemple:
    Si U est un ouvert et f continue, f(U) n'est pas un ouvert en général,
    si A est compact [resp. connexe] et f continue f(A) est compact [resp. connexe].
    Est-ce que tu vois cette différence de comportement ?
    Si Ed est un espace métrique, A borné n'implique pas que f(A) soit borné, même si f est un homéomorphisme: la notion de borné n'est pas topologique.

    Bien cordialement.

    --> Suite à un message de Ga? (ci-dessous): les espaces topologiques sont tous supposés séparés dans ce qui précède.
  • Volny DE PASCALE
    Volny DE PASCALE
    Bonjour
    Pour ajouter mon grain de sel, tu affirmes au 2) et au 3) que $f^{-1}$ est continue. Comment l'as-tu trouvé ?

    Amicalement
    Volny
  • Ga?
    Ga?
    @ CdP : ce n'est pas vraiment vrai que l'image d'un compact par une application continue est compact : il faut un p'tit queq'chose en plus.
  • Sylvain
    Sylvain
    D'après ce que j'ai cru voir sur Internet, pour que l'image d'un compact $K$ par une application continue $f$ soit compacte, il faut (et suffit je pense) que $f$ soit à valeurs dans un espace topologique séparé. Tu peux confirmer, Ga ?
  • Ga?
    Ga?
    Vu le flou de la quantification, je ne me risquerai pas à confirmer. Ce que je confirme, c'est que l'image d'un compact par une application continue arrivant dans un espace séparé est compacte, et qu'on peut trouver des exemples d'applications continues surjectives $f : X\to Y$ où $X$ est compact et $Y$ est non séparé, donc non compact.
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    @ Ga? : quand on parle de compacts, les espaces sont toujours séparés, non ? Sinon, on parle de quasi-compacts (Bourbaki).
    Mais je rectifie quand même dans mon message à ouss ...

    Bien cordialement.
  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    CdP, un sous-espace d'un espace non séparé peut très bien être séparé.
  • Ga?
    Ga?
    Un exemple (modérément) amusant. Soit $X=[0,1]\times\{-1,1\}$ avec sa topologie évidente : c'est un espace compact, réunion disjointe des deux compacts $X_1=[0,1]\times\{1\}$ et $X_{-1}=[0,1]\times \{-1\}$. Soit $Y$ le segment $[-1,1]$ où l'on dédouble $0$ en deux points $0_+$ et $0_-$. On met sur $Y$ la topologie qui induit la topologie usuelle sur $[-1,0{[}\cup{]}0,1]$ et pour laquelle les ${]}{-\epsilon},0{[}\cup\{0_+\}\cup{]}0,\epsilon[$ avec $\epsilon >0$ forment une base de voisinage de $0_+$ (et idem en changeant $0_+$ en $0_-$). L'espace $Y$ est localement homéomorphe à $[-1,1]$, ses points sont fermés, il est connexe par arcs, mais il n'est pas séparé.
    Soit $f: X\to Y$ défini par $f(x,\delta)=\delta\,x$ si $x\neq 0$, $f(0,1)=0_+$ et $f(0,-1)=0_-$. Alors $f$ est une application continue bijective, n'est pas un homéomorphisme, l'image par $f$ du compact $X_1$ est un compact qui n'est pas fermé dans $Y$ et l'image par $f$ du compact $X$ n'est pas compacte.
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