Exercice sur l'exponentielle d'une matrice

Cherche aussi un pdf où l'on apprend à écrire en français correct ...

Ouais mais pour le coup RC a sans doute raison. La maîtrise de la langue par kiroro est tellement déficiante que l'on peut raisonnablement suspecter que cela l'empêche de raisonner. Cela le gêne au moins considérablement pour communiquer.

bonjour

à propos d'une matrice $A$ de format 2x2 il existe une relation (déterminée par les séries de Neuman à partir de $A^n$)

donnant son exponentielle exprimée en fonction de $I_2$ matrice unité et la matrice $A$ elle-même

avec $r_1$ et $r_2$ les deux valeurs propres distinctes de $A$ soit:

$exp(A) = \frac{r_1e^{r_2}-r_2e^{r_1}}{r_1 - r_2}I_2 + \frac{e^{r_1}-e^{r_2}}{r_1 - r_2}A$

pour ta matrice $A$ on sait que $r_1 = i$ et $r_2=-i$ il vient en conséquence:

$exp(A) = I_2.cos1 + A.sin1$

avec cosinus et sinus les fonctions circulaires habituelles repérées ici avec les formules d'Euler

finalement: $exp(A) = \begin{pmatrix}cos1&-sin1\\sin1&cos1\end{pmatrix}$

on reconnaît une matrice anti-symétrique d'angle 1 radian
alors que $A$ est elle-même une matrice anti-symétrique d'angle $\frac{\pi}{2}$

cordialement

Merci.
H.

Intéressant comme thème, récemment j'ai vu un exercice pour les oraux pour les écoles d'ingénieur (je pense que c'était un type Centrale) qui demandait de calculer l'exponentielle d'une somme de matrices dans le cas où les deux matrices ne commutaient pas forcément. Ca me semble quand même assez hors programme pour du bac+2 (j'imagine que ça pourrait être lié aux formules de Baker-Campbell)... Après étant incapable de retrouver le "pdf" de l'exercice en question, ce que je dis reste sûrement trop imprécis... Et puis peut-être qu'il y avait beaucoup d'indications avant de conclure...