question de raisonnement

Bonsoir
On me demande de montrer que si $d(x, F)=0$ où $F$ est un fermé de $\R$ implique $x\in F$. Sachant que $F$ est dans son adhérence, c'est rapide. Mais je voulais juste savoir si ce raisonnement par la borne inf est correct (pas sûr de bien les manipuler) :

Soit $\epsilon = \frac {1}{n}$, je construis alors deux suites $x_n$ d'éléments de $A_x= \{ |x-y| / y \in F\}$ (qui est non vide et minoré par 0) et $y_n$ définie par $x_n = |x -y_n|$ telle que :
$x_n - \frac {1}{n} < \inf A_x $. Or par hypothèse $\inf A_x =0$ donc $x_n$ tend vers 0, c'est-à-dire que $y_n$ suite d'éléments de $F$ converge vers $x$ , qui est donc dans $F$.

Merci