application non différentiable

Sans chercher à briller en société par des considérations superflues, considérons que la différentiablilité est celle de nos cours de Sup et Spé. Nous avons abordé de sujet il y a trois mois dans un fil de discussion intitulé : Un contre-exemple en calcul différentiel. J'y ai écrit ce qui suit :
Une fonction $f$ de deux variables peut avoir les propriétés suivantes en un point $(x_{0},y_{0})$ :
\begin{enumerate}
\item la fonction $f$ est continue ;
\item la fonction $f$ a des dérivées partielles ;
\item la fonction $f$ est dérivable selon tout vecteur $u\neq (0,0)$ ;
\item la fonction $f$ est dérivable selon tout vecteur $u\neq (0,0)$ et l'application $u\mapsto f_{u}^{\prime }(x_{0},y_{0})$, prolongée par $(0,0)\mapsto 0$, est linéaire (et continue, ce qui n'ajoute rien en dimension finie) ;
\item la fonction $f$ est différentiable ;
\item la fonction $f$ est $C^{1}$.
\end{enumerate}
On a les implications bien connues, dont certaines sont triviales : $(6)\Rightarrow (5)\Rightarrow (4)\Rightarrow (3)\Rightarrow (2)$ et : $(5)\Rightarrow (1)$,
et ce sont les seules (avec bien sûr celles qui s'en déduisent ...).

On peut bricoler des exemples de fonctions $f(x,y)=\frac{x^{\alpha }y^{\beta }}{x^{\gamma }+y^{\delta }}$, $\alpha >0,\beta >0,\gamma \geq \delta >0$, prolongées par $f(0,0)=0$, qui constituent des contre-exemples en $(0,0)$ pour toute implication, autre que les précédentes, dont on pourrait se demander si elle est vraie, en particulier $(4)\Rightarrow (1)$, qui est bien tentante, a fortiori $(4)\Rightarrow (5)$ !

Pour $(4)\Rightarrow (1)$, j'ai donné le contre-exemple suivant.
Soit la fonction $f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}$ pour $(x,y)\neq (0,0)$, prolongée par $f(0,0)=0$.
Cette fonction admet en $(0,0)$, selon tout vecteur $u=(a,b)\neq (0,0)$, une dérivée directionnelle $f_{u}^{\prime }(0,0)=\underset{t\rightarrow 0,t\neq 0}{\lim }\frac{f(at,bt)}{t}$ qui est toujours nulle, ce qui implique que l'application $u\mapsto f_{u}^{\prime }(0,0)$, prolongée par $(0,0)\mapsto 0$, est linéaire, comme c'est le cas lorsque la fonction $f$ est différentiable. Et pourtant ici, cette fonction $f$ n'est pas même continue en $(0,0)$.
Bonne soirée.
RC

Généralement, on préfère une fonction définie sur $\R^2$ tout entier, ou à tout le moins sur un ouvert de $\R^2$, mais sur une courbe quel intérêt ? Pourquoi pas une fonction définie sur $\Z$ ? Moi, j'ai du temps à perdre, mais le questionneur n'en a pas forcément ...
RC

Je développe un peu mon exemple.

Je considère $A$ le sous-ensemble de $\R^2$ qui est constitué de tous les points de la forme $(x,x^2)$ pour $x>0$. C'est un arc de parabole. Je m'intéresse alors à $f$, l'indicatrice de $A$. On a ainsi $f(u)=1$ si $u$ est dans $A$ et $f(u)=0$ sinon.

1) Pour tout $u$ dans $\R^2$, il existe un réel $\alpha>0$ tel que le segment $[-\alpha u, \alpha u]$ ne touche pas $A$ (cela se voit bien sur un dessin, mais cela me prendrait trop de temps d'en faire un). Par conséquent, pour tout $u$ et pour tout $t$ assez petit, $f( tu)$ est nul. Cela permet de montrer facilement que la dérivée est nulle dans toute les directions. L'application qui à $u$ associe la dérivée selon $u$ est donc nulle et donc linéaire.

2) Par contre, $f$ n'est pas continue car elle est nulle en $0$ et on a $\lim_{x \to 0+} f(x,x^2)=1$ (version snob : car $0$ est dans l'adhérence de $A$).

RC semble convaincu que je donne ce genre d'exemples par snobisme ou pour tenter de briller. Je les donne simplement parce que je les trouve plus simples et plus éclairants. C'est une question de goût.

Ah tiens moi j'aurais juste fait le graphe dans $A$ dans le plan avec quelques petits segments ne touchant pas $A$ (voir une animation géomachin ).

Mais bon moi je suis snob

Par exemple parce que (5) entraine (1) et qu'on n'a pas (1).

ah oui exact...en tout cas merci à tous pour votre aide ça va bien me servir.

Remarque a écrit:

Meuh non, c'est meugnon la hyène

C'est le moment de citer le fameux dicton espagnol: là où y a la hyène, y a pas de plaisir!

Ok, je sors...

A l'usage les générations futures : il y avait une blague possible à propos des hyènes, mais la source en a été cachée (sagesse des modérateurs), alors maintenant hyène a plus...