existence et unicité
dans Analyse
Soit $\lambda $ un réel fixe non nul.
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels, Prouver l'existence et l'unicité d'un polynôme $Q$ (à coefficients réels ) tel qu'on a pour tout réel $x$: $Q'(x)+ \lambda . Q(x) = P(x) $
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels, Prouver l'existence et l'unicité d'un polynôme $Q$ (à coefficients réels ) tel qu'on a pour tout réel $x$: $Q'(x)+ \lambda . Q(x) = P(x) $
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Réponses
Si tu connais un peu d'algèbre linéaire, tu peux remarquer que $P \mapsto \lambda P + P'$ est un endomorphisme de $\K[X]$ qui préserve le degré.
tu peux essayer une récurrence sur le degré de $ P$ en appliquant l'hypothèse de recurrence à $P'$
ici la propriété à montrer par recurrence dépend de$ n$ et de $P$
unicité: il te suffit de prouver que si $Q_1'(x)+ \lambda . Q_1(x) = Q_2'(x)+ \lambda . Q_2(x) $ alors $Q_1=Q_2$ (sans rien supposer sur les polynômes $Q_1,Q_2$)
existence: il te suffit de prouver que pour tout entier $n$ et nombres réels $a_0,...,a_n$, il existe un entier $p$ et des réels $b_0,...,b_p$ tels que pour tout entier $i$ blabla, $a_i = \lambda b_i + (i+1)b_{i+1}$
(Je t'écris ma preuve si tu veux.)
De toute façon il me semble que la quasitotalité des lycées rédigent le truc informellement avec des pointillés via la forme avec les $a_i,b_j$ que j'ai donnée plus haut et disent "il y a unicité parce qu'on voit bien que c'était déterminé par les contraintes, blabla"