existence et unicité

geometer 123
geometer 123
dans Analyse
Soit $\lambda $ un réel fixe non nul.
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels, Prouver l'existence et l'unicité d'un polynôme $Q$ (à coefficients réels ) tel qu'on a pour tout réel $x$: $Q'(x)+ \lambda . Q(x) = P(x) $

Réponses

  • bisam
    bisam
    Si $\lambda$ est nul, tu auras du mal à prouver l'unicité.
  • geometer 123
    geometer 123
    oops ! $ \lambda \in \mathbb{R}^* $ ... je rectifie
  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    Qu'as-tu fait ? Où bloques-tu ?

    Si tu connais un peu d'algèbre linéaire, tu peux remarquer que $P \mapsto \lambda P + P'$ est un endomorphisme de $\K[X]$ qui préserve le degré.
  • geometer 123
    geometer 123
    Je suis en Terminale... (peut-être ce n'est pas l'endroit approprié pour poster cet exercice :S )
  • sadfub0
    sadfub0
    Bonjour : un coup de pouce niveau terminale S!

    tu peux essayer une récurrence sur le degré de $ P$ en appliquant l'hypothèse de recurrence à $P'$

    ici la propriété à montrer par recurrence dépend de$ n$ et de $P$
  • christophe c
    christophe c
    Je te traduis les termes existence et unicité au cas où:

    unicité: il te suffit de prouver que si $Q_1'(x)+ \lambda . Q_1(x) = Q_2'(x)+ \lambda . Q_2(x) $ alors $Q_1=Q_2$ (sans rien supposer sur les polynômes $Q_1,Q_2$)

    existence: il te suffit de prouver que pour tout entier $n$ et nombres réels $a_0,...,a_n$, il existe un entier $p$ et des réels $b_0,...,b_p$ tels que pour tout entier $i$ blabla, $a_i = \lambda b_i + (i+1)b_{i+1}$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    Si on procède par récurrence comme suggéré par sadfub, on peut obtenir directement le pack existence+unicité, il n'est pas nécessaire de prouver chaque point séparément.
  • sadfub0
    sadfub0
    > Nimes-man : je pense pas
  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    Je dis qu'on peut montrer l'existence et l'unicité au cours de la récurrence, plutôt que l'existence par récurrence, puis l'unicité à part. N'es-tu pas d'accord ??? :S

    (Je t'écris ma preuve si tu veux.)
  • sadfub0
    sadfub0
    j'ai des doutes mais laissons geometer 123 commencer l'exercice avant de donner la solution!
  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    Je t'ai envoyé ma preuve par message privé (sur ton compte "Said Fubini") pour que tu puisses juger de la pertinence de mon propos sans pour autant qu'on crache le morceau à geometer tout de suite.
  • christophe c
    christophe c
    oui, enfin ça c'est pour les rédacteurs du supérieur. Je ne sais plus trop ce qu'il en est en TS, mais il me semble qu'attendre un raisonnement par récurrence qui comprend bien "le pack" est trop demandé, puisque seuls 5% des TS d'aujourd'hui peuvent en gros répondre à "exprime formellement ce que signifie "il existe un unique a tel que" et encore, je pense exagérer le pourcentage dans le sens optimiste

    De toute façon il me semble que la quasitotalité des lycées rédigent le truc informellement avec des pointillés via la forme avec les $a_i,b_j$ que j'ai donnée plus haut et disent "il y a unicité parce qu'on voit bien que c'était déterminé par les contraintes, blabla"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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