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existence et unicité

Envoyé par geometer 123 
existence et unicité
l’an passé
Soit $\lambda $ un réel fixe non nul.
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels, Prouver l'existence et l'unicité d'un polynôme $Q$ (à coefficients réels ) tel qu'on a pour tout réel $x$: $Q'(x)+ \lambda . Q(x) = P(x) $
Re: existence et unicité
l’an passé
avatar
Si $\lambda$ est nul, tu auras du mal à prouver l'unicité.
Re: existence et unicité
l’an passé
oops ! $ \lambda \in \mathbb{R}^* $ ... je rectifie
Re: existence et unicité
l’an passé
avatar
Qu'as-tu fait ? Où bloques-tu ?

Si tu connais un peu d'algèbre linéaire, tu peux remarquer que $P \mapsto \lambda P + P'$ est un endomorphisme de $\K[X]$ qui préserve le degré.
Re: existence et unicité
l’an passé
Je suis en Terminale... (peut-être ce n'est pas l'endroit approprié pour poster cet exercice :S )
sadfub
Re: existence et unicité
l’an passé
Bonjour : un coup de pouce niveau terminale S!

tu peux essayer une récurrence sur le degré de $ P$ en appliquant l'hypothèse de recurrence à $P'$

ici la propriété à montrer par recurrence dépend de$ n$ et de $P$
Re: existence et unicité
l’an passé
Je te traduis les termes existence et unicité au cas où:

unicité: il te suffit de prouver que si $Q_1'(x)+ \lambda . Q_1(x) = Q_2'(x)+ \lambda . Q_2(x) $ alors $Q_1=Q_2$ (sans rien supposer sur les polynômes $Q_1,Q_2$)

existence: il te suffit de prouver que pour tout entier $n$ et nombres réels $a_0,...,a_n$, il existe un entier $p$ et des réels $b_0,...,b_p$ tels que pour tout entier $i$ blabla, $a_i = \lambda b_i + (i+1)b_{i+1}$
Re: existence et unicité
l’an passé
avatar
Si on procède par récurrence comme suggéré par sadfub, on peut obtenir directement le pack existence+unicité, il n'est pas nécessaire de prouver chaque point séparément.
sadfub
Re: existence et unicité
l’an passé
> Nimes-man : je pense pas
Re: existence et unicité
l’an passé
avatar
Je dis qu'on peut montrer l'existence et l'unicité au cours de la récurrence, plutôt que l'existence par récurrence, puis l'unicité à part. N'es-tu pas d'accord ??? :S

(Je t'écris ma preuve si tu veux.)
sadfub
Re: existence et unicité
l’an passé
j'ai des doutes mais laissons geometer 123 commencer l'exercice avant de donner la solution!
Re: existence et unicité
l’an passé
avatar
Je t'ai envoyé ma preuve par message privé (sur ton compte "Said Fubini") pour que tu puisses juger de la pertinence de mon propos sans pour autant qu'on crache le morceau à geometer tout de suite.
Re: existence et unicité
l’an passé
oui, enfin ça c'est pour les rédacteurs du supérieur. Je ne sais plus trop ce qu'il en est en TS, mais il me semble qu'attendre un raisonnement par récurrence qui comprend bien "le pack" est trop demandé, puisque seuls 5% des TS d'aujourd'hui peuvent en gros répondre à "exprime formellement ce que signifie "il existe un unique a tel que" et encore, je pense exagérer le pourcentage dans le sens optimiste

De toute façon il me semble que la quasitotalité des lycées rédigent le truc informellement avec des pointillés via la forme avec les $a_i,b_j$ que j'ai donnée plus haut et disent "il y a unicité parce qu'on voit bien que c'était déterminé par les contraintes, blabla"

aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi. Par ailleurs, l'important n'est pas de réussir, mais de formaliser l'échec pour que l'appel à l'aide puisse recevoir des réponses utiles.
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