Exo X

michal
michal
dans Analyse
Bonjour,

L'exo suivant : $E$ est un espace euclidien, $a$ et $b$ sont deux vecteurs donnés de $E$.

Déterminer la borne supérieure et inférieure de l'ensemble : $$
\left\{\frac{(x\mid a)(x\mid b)}{||x||^2},\quad x\in E\setminus \{0\}\right\}
$$ est corrigé dans un des livres Oraux-X-ENS (Francinou, Nicolas, Gianella), je ne sais plus lequel... Est-ce qu'une âme charitable aurait la bonté de me scanner cette correction ?

Mille mercis !!!

Réponses

  • Raymond Cordier
    Raymond Cordier
    1000=mille
  • michal
    michal
    Certes.
  • h
    h
    Je ne suis pas allé au bout, mais ma première idée serait d'étudier cela dans le plan engendré par $a$ et $b$ (dans un bon repère). Si ça se passe comme je l'espère ça doit suffire.
  • bs
    bs
    Bonjour,

    Ce n'est pas un exo X mais un exo ENS ;)

    C'est l'exercice 1.1 du tome 3 d'Algèbre FGN.

    Dois partir.

    Si personne ne scanne, au retour je scanne,mais suis sûr que vous allez trouver :

    le sup c'est $\dfrac{(a | b)+||a|| ||b||}{2}$.

    Amicalement.
  • GreginGre
    GreginGre
    Et l'inf, c'est $0$ dès que la dimension de $E$ est au moins $2$ (le cas de la dimension $1$ est trivial)
  • jandri
    jandri
    Non, l'inf c'est $ \dfrac{(a \vert b)-\vert\vert a\vert\vert \vert\vert b\vert\vert}{2}$.
  • egoroffski
    egoroffski
    Euh, t'es sûr Greg ? En prenant $x=a=-b \neq 0$, j'ai l'impression qu'on atteint une valeur strictement négative...

    (où alors tu utilise une définition algébraiste exotique de "$\inf$")
  • GreginGre
    GreginGre
    Ah zut! j'ai tellement l'habitude de travailler avec des normes sup (la faute à la convergence uniforme) en ce moment que je vois des valeurs absolues partout :D
  • h
    h
    Par contre l'ENS c'est plus ce que c'était, c'est vraiment fastoche comme exo :)
  • JLT
    JLT
    On peut se ramener à $a$ et $b$ de norme 1. On se ramène au plan engendré par $a$ et $b$. On prend un repère orthonormé dont les axes sont les bissectrices de $a$ et $b$.
  • gary poutrella
    gary poutrella
    27082
    27083
  • michal
    michal
    Merci !!! (tu)
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