norme sur l'espace des fonctions continues
Réponses
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Une autre manière de formaliser ton excellente question est de demander si l'evt (conv unif) qu'elles forment est normable (avec une norme qui engendre la même topologie que celle de la convergence uniforme par exemple)
Ca va empècher de dormir les analystes du forum, sauf s'ils connaissent par coeur la réponse
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Avec le lemme de Zorn, oui.
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Il n'a pas de réponse simple à la question posée.
Tout espace vectoriel peut être muni d'une norme
à partir d'une de ses bases.
DS -
Tu parles de la convergence uniforme sur R tout entier ? Dans ce cas, ce n'est pas un evt : si $f$ est la fonction exponentielle, $\frac{1}{n} f$ ne converge pas vers 0 pour cette topologie.si l'evt (conv unif) qu'elles forment
Le cas de la convergence uniforme sur tout compact est plus intéressant. -
Pas que l'exponentielle, n'importe quelle fonction non bornée...
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Oui bien sur, mais j'ai préféré donner un exemple, autrement on va me dire qu'il faut que je prouve qu'il existe des fonctions continues non bornées.
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Bonsoir,
on peut prolonger la remarque de Daniel {\sc Saada}, dans ce que Poltaj sous-entendait sans doute, : la norme uniforme sur le sev des fonctions continues bornées s'étend en (au moins) une norme sur C$^0$.
Une remarque aussi pour ceux que ça intéresse : quelle que soit la norme $N$ sur C$^0([0,1])$, il existe une suite $(f_n)$ qui converge simplement vers $0$ et telle que $N(f_n)$ tend vers $+\infty$. Mit anderen Worten : il n'y a pas de norme de la cvs.
Cordialement, j__j -
C'est pas mon genre de dire "ah oui que je suis bête" ou "ah oui, c'est ce que je voulais dire" (c'est narcissique et tout le monde s'en fiche), mais là, je le fais en autosanction, car je suis tellement overbooké (raisons multiples, dont familiales) que je fais parfois de mauvais sacrifices, et hélas y compris en classe: merci à blackbird, je voulais dès le départ dire "uniforme sur tout compact" et je me suis dit "je ferai un edit" et 3mn plus tard au moment de déconnecter, je me suis dit "bof, tant pis, tout le monde s'en fout". Et je pense que c'était un mauvais sacrifice, car on doit respecter les lecteurs occasionnels même si tous les autres "savent". Je le signale et en même temps me l'auto-signale
Par contre, en me réveillant ce matin (en fait il y a un problème d'eau chaude dans mon immeuble et on doit attendre 20mn avant d'en avoir, bizarre bizarre car finalement... on en a, alors que c'est un ballon, mais à 5h00 en plein hiver bof bof), et bé ce fil m'est revenu et je crois qu'il y a moult questions intéressantes (bien que différentes) à se poser.
Pourquoi choisir la "uniforme sur tout compact"? Certes c'est la plus naturelle dans ce contexte. Mais pourquoi ne pas prendre "la topologie idéale" qu'on attend?
Et bien je vois ici un exemple d'occasion de parler de ça: on souhaite parler en quelque sorte d'une topologie d'EVT qui serait "la plus fine" à être incluse dans celle de la convergence uniforme (sur IR tout entier j'entends!!!). Or, je ne vois (sauf erreur ou oubli) qu'une façon d'aller vers elle: parler de ce que j'ai appelé dans le passé d'ultralogies:
j'ai un peu la flemme, mais je mettrai un post détaillé de mon compte chez moi. En gros, on exige (on fait ce qu'il faut et c'est canonique) les bon ultrafilttres convergent vers ce qu'il faut, à partir de la topologie (qui n'est pas une topologie D'eVT) de la conv uniforme sur IR tout entier (c'est aisément devinable). Ca donne ce que j'appelle une ultralogie (ie une partie $L$ de $Ultra\times E$ en notant $Ultra$ l'ensemble des ultrafiltre sur $E$), avec l'intention suivante: un couple $(W,a)\in L$ si et seulement si $a$ est une limite de $W$. (Donc par exemple, ici, on demandera que si $x$ est superproche de $0$ alors $xf$ le sera aussi, etc, puis on stabilise)
C'est bien sûr une notion plus générale que la topologie. Sauf qu'ensuite canoniquement, on obtient la "topologie canonique associée à l'ultralogie" qui est la suivante: une partie $U$ de $E$ est un ouvert quand pour tout $W\in Ultra$ et $a\in E$ si $a\in U$ alors $U\in W$. (Ca donne bien une topologie)
Question à 50,7 euros?Est-ce que en partant de la convergence uniforme sur IR tout entier en rajoutant des limites aux ultrafiltres qui se doivent de l'être pour avoir un EVT, la topologie obtenue est celle de la convergence uniforme sur tout compact? Voilà une question dont je n'aimerais pas qu'on m'oblige à y réfléchir, mais qui pour des analystes me semble digne d'intérêt.
Par ailleurs, merci à tous pour les renseignements divers.
Bon j'ai vraiment pas le temps de latexifier ça, mais ce soir, je formaliserai mieux. -
john_john écrivait:
> Une remarque aussi pour ceux que ça intéresse :
> quelle que soit la norme $N$ sur C$^0([0,1])$, il
> existe une suite $(f_n)$ qui converge simplement
> vers $0$ et telle que $N(f_n)$ tend vers
> $+\infty$.
Bonsoir,
je vois comment faire pour les normes usuelles (infinie, et norme p), (par exemple en prenant une suite de fonctions affines par morceaux $(f)_n$ telle que $(f)_n$ soit nulle sur $[0,1-\frac{1}{n}]$, puis qui fait des pics assez élevé avec un sommet en $1-\frac{1}{2n}$ et nulle en $1$), mais je ne vois pas comment procéder dans le cas d'une norme quelconque.
Une indication, svp ? -
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Je réécris, comme promis ma tambouille immonde du post précédent:
1) Rappel: un ultrafiltre sur un ensemble $E$ est un ensemble de parties de $E$ qui a les mêmes propriétés "algébriques" que les $W_a:=\{X\in P(E) |a\in X\}$. C'est une sorte d'élément "fantome" de $E$ (précisément, c'est un idéal premier dans l'anneau $(P(E), +:=\iff, \times :=\cup )$)
2) Je note $gau(x,y):=x$ et $droi(x,y):=y$
3) Si $f: E\to F$ et $W$ ultrafiltre sur $E$, alors $f[W]:=$ l'ultrafiltre sur $F$ qui contient les $X\subseteq F$ tels que $\{x\in E|f(x)\in X\}\in W$
4) Etant donné deux applications continues $f,g$ de $\R\to \R$, $d(f,g)$ est l'élément $sup_{x\in \R} |f(x)-g(x)| $ de $\R\cup \{+\infty\}$
5) Etant donné un ensemble $E$, je note $Ultra(E)$ l'ensemble des ultrafiltres sur $E$ (en vrai les gens le notent $\beta(E)$ pour info)
6) Je note $C$ l'ensemble des applications continues de $\R\to \R$
7) Soit $lim_0$ l'ensemble des éléments $(W,f)$ de $ultra(C)\times C$ tels que pour tout $e>0: \{g\in C| e>d(f,g)\}\in W$
8) Soit limnum l'ensemble des couples $(W,a)$ de $ultra(\R)\times \R$ tel que $\forall e>0: \{x\in \R|e>|x-a|\}\in W$
9) On dira qu'un sous-ensemble $L$ de $ultra(C)\times C$ est correct quand il vérifie les propriétés suivantes:
9.1) $lim_0\subseteq L$
9.2) Pour tout $W\in ultra(C^2)$, tout $f,g$ dans $C$, si $(gau[W], f)\in L$ et $(droi[W], g)\in L$ alors $(+[W], f+g)\in L$
9.3) Pour tout .......... si $(gau[W], a)\in limnum$ et $(droi[W], f)\in L$ alors $(((x,f)\mapsto xf)[W], af)\in L$
10) Les notations sont "bizarres" mais en fait derrière y a aucun scoop, c'est très intuitif
11) Soit $chouettelim$ l'intersection des $L$ qui sont corrects.
12) On appelle $chouettetopo$ la topologie constituée des $U\subseteq C$ tels que pour tout $W\in ultra(C)$, tout $f\in U$ si $(W,f)\in chouettelim$ alors $U\in W$.
La question est alors: est-ce que $chouettetopo$ est la topologie de la convergence uniforme sur tout compact. Bon, voilà, j'ai tenu ma tite promesse, je vais faire un gros dodo
-D Peut-on la retrouver à coup de norme? (Probablement pas of course) Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bon, je suis pas sûr que la question précédente va emporter bcp de succès, j'en formule une autre.
Soit $C$ l'espace vectoriel des applications continue de $\R\to \R$
Soit $T_1$ la topologie de la convergence uniforme (sur $\R$ tout entier)
Soit $T_2$ la topologie de la convergence uniforme sur tout compact
$(C,T_2)$ est un evt mais pas $(C,T_1)$. On a $T_2\subseteq T_1$. Existe-t-il une topologie $T_3$ telle que $(C,T_3)$ soit un evt et $T_2\subseteq T_3\subseteq T_1$ et $T_2\neq T_3$ ? (En existe-t-il aussi une "assez naturelle" ?)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je réponds à poltaj son dernier post.
Oui, pour une norme quelconque, on ne dispose pas de bcp d'hypothèses (on a un nom pour la norme c'est tout, ça fait pas grand chose). Soit T la topologie de la convergence simple
Par contre, en supposant que N est une norme et que toute fonction T-superproche de zéro a une norme superproche de 0, on a une hypothèse très forte (H). La tournure esthétique de John-John (avec tendre vers l'infini à la fin) n'est pas le plus gros problème (il suffit de juste de contredire H)
Prenons par exemple le nombre 1. (H) entraine qu'il existe un $e>0$ et un ensemble fini $F$ tel que pour toute $f\in C:=C^0([0;1])$, si $sup |f(x)|$ quand $x$ parcourt F ne dépasse pas $e$ alors $N(f)\leq 1$, etc, etc (Je n'ai pas le temps de réfléchir plus à ta question, mais je voulais juste te signaler que (H) est une hypothèse très forte, ie tu peux faire avec 1/n ce que tu viens de faire avec 1, etc, tu devrais aboutir)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je me demande : Quelle est la dépendance de l'existence d'une norme sur $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ avec l'axiome du choix ? Parce que les seuls exemples de normes que je connaisse partent d'une base, ce qui suppose l'axiome du choix.
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Ce ne serait pas la première fois que cette dépendance serait effectivement grande de toute façon. Du coup, suite à ta remarque on peut demander la chose suivante: sans l'axiome du choix, peut-on en trouver, ne serait-ce qu'une?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonsoir poltaj,
ton exemple marche avec toute norme $N$ : appelle $f_n$ ta fonction et pose $g_n=n\cdot f_n/N(f_n)$. Alors cette nouvelle suite continue de cvs vers $0$ alors que $N(g_n)$ tend vers l'infini !
Cordialement, j__j -
Snif, ça tue un peu le charme de ton énoncé JJ (qui en devient trop constructivement prouvable)
Bon si on n'a pas d'intuition (ou d'images concrètes), il y a aussi une façon, certes, moins construtive, mais peut-être plus générale de procéder:
Si E est un evn non de dim finie sur $\R$ et $F$ un sev de $E$ de dimension finie, alors il n'est pas possible que pour tout $x\in E$, il existe $y\in F$ tel que $Norme(x-y)\leq 1$.
Or par exemple, dans le cas de $C:=C^0([0,1]\to \R)$, si $F$ est fini inclus dans $[0;1]$ tel que $\forall f\in C$ si $f|_F = 0$ alors $Norme(f)\leq 1$ alors il y a moult sev de $C$ de dim finie qui apportent un démenti à l'énoncé précédent.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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