Polynômes de Tchebychev

Une manière rapide de conjecturer si une inégalité est vraie est de faire tracer les graphes des fonctions à un ordinateur. L'as-tu fait ?

Précisons un peu. Comme tout polynôme, les polynômes de Tchebychev de seconde espèce $U_{n}(X)$ (c'est ainsi qu'ils se nomment) sont en tant que fonctions définis sur $\R$ tout entier. Ils sont définis par : $\forall \theta \in \R,\sin (n+1)\theta =(\sin \theta )U_{n}(\cos \theta )$. Vous me direz, cela les définit sur $[-1,1]$, mais un polynôme défini sur un intervalle est défini partout.
On montre par récurrence que pour $n\in \N$, $n\geq 2$, $\theta \in ]0,\frac{\pi }{2}]$, on a : $\sin n\theta <n\sin \theta $. Il en résulte, pour $x\in ]-1,1[$ : $U_{n}(x)<n+1=U_{n}(1)$.
Si j'ai bien compris, on veut prouver que pour $x\in [0,1]$, on a : $U_{n}(x)\leq (n+1)\frac{x}{2}$. Ceci est déjà clairement faux pour les $n$ multiples de 4. Et je pense pour quelques autres aussi.
Bonne soirée.
RC

Il y a deux coquilles dans l'énoncé du problème donné par fanf:
1) dans la définition de $U_n(\cos(t))$ il n'y a pas $n+1$ au dénominateur
2) à la fin de l'inégalité ce n'est pas $\frac x2$ mais $x$.

Comme l'a dit JLT il faut montrer $ \dfrac{\sin (n+1)t}{(n+1)t}\le \dfrac{\sin 2t}{2t}$ pour $t\in [0,\frac{\pi}2]$.
C'est faux si $n=4p$ en prenant $t=\dfrac{\pi}2$.
En revanche c'est vrai pour les autres valeurs de $n$.
C'est immédiat si $n$ est impair car $\sin (n+1)t\le\dfrac{n+1}2\sin 2t$ par l'inégalité rappelée par RC.
Si $n=4p+2$ on peut le démontrer en étudiant la fonction $f_n(t)=\dfrac{\sin 2t}2 -\dfrac{\sin (n+1)t}{n+1}$ sur $ [0,\frac{\pi}2]$.
$f'_n(t)=\cos 2t - \cos (n+1)t$ s'annule pour $t_k=\dfrac{2k\pi}{n-1}\le\pi/2$ ou pour $t_k=\dfrac{2k\pi}{n+3}\le\pi/2$.
Dans le premier cas $f_n(t_k)=(\dfrac12+\dfrac1{n-1})\sin \dfrac{4k\pi}{n-1}\ge0$ et dans le second cas $f_n(t_k)=(\dfrac12-\dfrac1{n+3})\sin \dfrac{4k\pi}{n+3}\ge0$. Comme de plus $f_n(0)=0$ et $f_n(\dfrac{\pi}2)=-\dfrac{\sin (n+1)\pi/2}{(n+1)}>0$ quand $n=4p+2$ on a bien $f_n(t)\ge0$ sur $ [0,\frac{\pi}2]$.

L'inégalité est encore fausse pour $n=4p$: il suffit de prendre $t$ suffisamment proche de $\dfrac{\pi}2$ pour que $ \dfrac{\sin (n+1)t}{(n+1)t}$ soit supérieur à $\dfrac{\sin 2t}{2t}$.