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Polynômes de Tchebychev

Envoyé par fanf 
Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
Bonjour
Les (fonctions) polynômes de Tchebychev du second ordre $(U_n(x))_n$ sont définies par récurrence sur $[-1,1]$ par $U_0(x)=1,\ U_1(x)=2x$ et $U_1U_n=U_{n+1}+U_{n-1}$. On peut montrer que $U_n(\cos(t))=\dfrac{\sin((n+1)t)}{\sin(t)}$, et que $U_n(1)=n+1$ est un maximum.
Je voudrais savoir si, pour un $x\in\,]0,1[$ fixé et tout $n\ge 1$, l'inégalité suivante est vraie (je donne des expressions éventuellement utiles des quantités en jeu) $$\frac{U_n(x)}{U_n(1)}=\frac{\sin((n+1)t)}{(n+1)\sin(t)}\le \frac{U_1(x)}{U_1(1)}=\frac{\sin(2t)}{2\sin(t)}=x$$ et si oui une aide pour le montrer.
Merci.
JLT
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
avatar
Une manière rapide de conjecturer si une inégalité est vraie est de faire tracer les graphes des fonctions à un ordinateur. L'as-tu fait ?
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
Oui je l'avais fait et ça a l'air d'être vrai en effet
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
J'ai fait un plot pour différentes valeurs de n (de 1 à 500) et le graphe est une sorte de sinusoide dont le signe est périodiquement >0 et <0 et dont "les bosses" au dessus de l'axe des abscisses ou au dessous sont de moins en moins hautes... Bref ça doit marcher je pense mais je n'arrive pas à montrer l'inégalité... Ecrire avec le sinus n'est peut être pas la meilleure méthode...
JLT
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
avatar
Il suffit de montrer que $\dfrac{\sin (n+1)t}{(n+1)t}\le \dfrac{\sin 2t}}{2t}$. Soit $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$. Alors $f$ est décroissante sur $[0,\pi]$, donc $f((n+1)t)\le f(2t)$, d'où le résultat.

Edit : j'ai fait une erreur, voir plus loin.
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
Je comprends l'idée mais les valeurs prises par $(n+1)t$ ne sont pas nécessairement dans $[0,\pi]$ ?
Au passage rien à voir mais à quoi sert le 'd' dans ton code latex devant frac ?
Merci :)
JLT
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
avatar
Oui, j'ai fait une erreur mais je crois qu'elle est réparable. Si $\dfrac{\sin (n+1)t}{(n+1)t}= \dfrac{\sin 2t}}{2t}$ alors $|\sin 2t|\le \dfrac{2}{n+1}$ est petit, donc soit $2t$ est proche de $0$, soit il est proche de $\pi$ ("proche" étant à préciser avec un encadrement explicite). Dans le premier cas, $(n+1)t$ est bien dans $[0,\pi]$, et le deuxième cas doit se traiter de manière analogue.

P.S. le d dans "dfrac" signifie "displaystyle". Compare par exemple $\frac{\sin x}{x}$ avec $\dfrac{\sin x}{x}$.
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
avatar
Précisons un peu. Comme tout polynôme, les polynômes de Tchebychev de seconde espèce $U_{n}(X)$ (c'est ainsi qu'ils se nomment) sont en tant que fonctions définis sur $\R$ tout entier. Ils sont définis par : $\forall \theta \in \R,\sin (n+1)\theta =(\sin \theta )U_{n}(\cos \theta )$. Vous me direz, cela les définit sur $[-1,1]$, mais un polynôme défini sur un intervalle est défini partout.
On montre par récurrence que pour $n\in \N$, $n\geq 2$, $\theta \in ]0,\frac{\pi }{2}]$, on a : $\sin n\theta <n\sin \theta $. Il en résulte, pour $x\in ]-1,1[$ : $U_{n}(x)<n+1=U_{n}(1)$.
Si j'ai bien compris, on veut prouver que pour $x\in [0,1]$, on a : $U_{n}(x)\leq (n+1)\frac{x}{2}$. Ceci est déjà clairement faux pour les $n$ multiples de 4. Et je pense pour quelques autres aussi.
Bonne soirée.
RC
JLT
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
avatar
Effectivement il y a un souci pour $n$ multiple de 4. Je n'ai pas été soigneux dans mes vérifications, mais je pense qu'avec l'idée esquissée dans mon message précédent on doit pouvoir montrer l'inégalité pour $n$ non multiple de $4$. En tout cas elle semble vraie expérimentalement.
[attachment 27216 Capturer.PNG]
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
Je vous remercie pour vos messages (le graphe est très beau JLT !!!). Ce qui est particulièrement important (et qui pourrait infirmer la conjecture) c'est si en $n=2$ la courbe ne "monte" pas au dessus que la valeur en $n=1$.
Il faut que je réfléchisse car vous avez des avis divergents... Est-ce si clair ce que tu dis RC ?
JLT
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
avatar
Non, on n'a pas des avis divergents, on est d'accord que c'est faux pour $n$ multiple de $4$. RC "pense" que c'est faux pour quelques autres valeurs mais n'a sans doute rien vérifié ; mes graphes (tracés pour $n$ non multiple de 4) semblent montrer que l'inégalité est vraie pour tout $n$ non multiple de 4.
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
Il y a deux coquilles dans l'énoncé du problème donné par fanf:
1) dans la définition de $U_n(\cos(t))$ il n'y a pas $n+1$ au dénominateur
2) à la fin de l'inégalité ce n'est pas $\frac x2$ mais $x$.

Comme l'a dit JLT il faut montrer $ \dfrac{\sin (n+1)t}{(n+1)t}\le \dfrac{\sin 2t}{2t}$ pour $t\in [0,\frac{\pi}2]$.
C'est faux si $n=4p$ en prenant $t=\dfrac{\pi}2$.
En revanche c'est vrai pour les autres valeurs de $n$.
C'est immédiat si $n$ est impair car $\sin (n+1)t\le\dfrac{n+1}2\sin 2t$ par l'inégalité rappelée par RC.
Si $n=4p+2$ on peut le démontrer en étudiant la fonction $f_n(t)=\dfrac{\sin 2t}2 -\dfrac{\sin (n+1)t}{n+1}$ sur $ [0,\frac{\pi}2]$.
$f'_n(t)=\cos 2t - \cos (n+1)t$ s'annule pour $t_k=\dfrac{2k\pi}{n-1}\le\pi/2$ ou pour $t_k=\dfrac{2k\pi}{n+3}\le\pi/2$.
Dans le premier cas $f_n(t_k)=(\dfrac12+\dfrac1{n-1})\sin \dfrac{4k\pi}{n-1}\ge0$ et dans le second cas $f_n(t_k)=(\dfrac12-\dfrac1{n+3})\sin \dfrac{4k\pi}{n+3}\ge0$. Comme de plus $f_n(0)=0$ et $f_n(\dfrac{\pi}2)=-\dfrac{\sin (n+1)\pi/2}{(n+1)}>0$ quand $n=4p+2$ on a bien $f_n(t)\ge0$ sur $ [0,\frac{\pi}2]$.
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
Bonjour,
désolé pour la réponse tardive, je n'avais pas vu les nouveaux mails.
$x$ était fixé dans $]0,1[$, donc $t=\pi/2$ n'est pas autorisé, le résultat est faux quand même dans ce cas là ?
Re: Polynômes de Tchebychev
il y a sept années
L'inégalité est encore fausse pour $n=4p$: il suffit de prendre $t$ suffisamment proche de $\dfrac{\pi}2$ pour que $ \dfrac{\sin (n+1)t}{(n+1)t}$ soit supérieur à $\dfrac{\sin 2t}{2t}$.
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