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bonsoir kiroro
tu désire résoudre l'équation différentielle
de $y''-e^t y=0$?
si (et tu le sait) résoudre l'équation $ay"+by=Ucos(wx-\varphi)$
je pense que tu peut conclure en connaissant la primitive de $e^t$ et qui est $e^t$
n'oublie pas la cnste d'integration
si tu trouve alors tu saura répondre à la question
évidemment j'ai rien dit
de toute façon ici b n'est pas une fonction de t alors mais cela n'empêche que ...

j'ai honte mais pour moi c'est oui
mais j'ai honte(kiroro cherche pas pourquoi je me comprend)
mais la forme de la solution avec b constant me fait poser des questions

Sauf erreur, on ne sait pas résoudre $y''-e^t y=0$. Kiroro, si tu avais vérifié tes calculs, tu aurais pu te rendre compte que ta "solution" n'en est pas une.

Tu peux déjà commencer par résoudre la deuxième équa diff.

kiroro
si tu sait résoudre (et tu sait le faire)
l'équation $ay"+by=Ucos(wx-\varphi)$
alors tu trouve ce que l'on te demande
ici b est constant (un réel je répond à ta question de qui est b)
dans ton équa b est remplacé par une fonction e^t et le deuxieme terme est nul

POur résoudre l'exo, on suppose par exemple qu'il n' y a qu'un nombre fini de zéros. Il existe donc un intervalle de la forme $[a, +\infty[$ sur lequel $y$ est de signe constant, par exemple >0.

On regarde ce que cela implique pour $y''$, puis $y'$ etc...bref, on agite ses petits neurones.

@sphynx : raconter des trucs comme si t'en étais sûr alors que tu ne sais pas de quoi tu parles c'est quand même assez relou. Non ?

je suis pas relou et j'ose rien(même la mort je l'ai pas résolu juste une tentative pour se défiler c'est mieux que rien et à ce propos regardez Osterman week-end de Sam Peckinpah) et en maths je suis minable(ok)
mais pour résoudre ce fil je commencerai a résoudre l'équation en posant b constant et le second terme comme que j'ai écrit (c'est pas de moi mais ça vous le savez) et apres on arrivera alors si moi bien que minable en maths j'arrive pourquoi ne pas le faire?
mais après une fois résolu il faut faire des manips évidemment

Bizarre discussion, qui s'égare sans conclure ...

On constate d'abord un énoncé fautif, comme souvent hélas, tardivement corrigé. Je pense qu'il faut lire : << Montrer qu'une solution de $y''+e^t y=0$ admet une infinité de zéros dans $\mathbb{R}^+$ tandis qu'une solution non nulle de $y''-e^ty=0$ admet au plus un zéro dans $mathbb{R}^+$.>>

Il est d'abord clair qu'il ne s'agit pas de "résoudre" ces équations différentielles en termes de fonctions "élémentaires", comme l'on fait pour les équations linéaires à coefficients constants. Il s'agit d'une étude qualitative, précisant certaines propriétés des solutions de ces équations. Je n'ai pas de solution aussi évidente que ce que suggère GreginGre, mais voici ce que j'ai trouvé dans la littérature.

1. Equation $y''+e^t y=0$. On montre qu'une solution $f$ de cette équation admet, pour chaque $a\in \R$, un zéro dans l'intervalle $]a,a+\pi e^{-\frac{a}{2}}[$. Pour ce faire, on introduit les fonctions $\phi (t)=e^{\frac{a}{2}}(t-a)$ et $g(t)=f^{\prime }(t)\sin \phi (t)-e^{\frac{a}{2}}f(t)\cos \phi (t)$. Désolé, c'est un peu "parachuté", pour citer un autre fil bourré d'inepties, mais les math ne sont pas un long fleuve tranquille sur qui il suffirait de se laisser aller au fil de l'eau. On peut ajouter que les solutions sont bornées.sur $\R_{+}$.

2.. Equation $y''-e^t y=0$. On montre que si une solution $f$ de cette équation s'annule en deux points $a$ et $b$, $a<b$, alors elle s'annule sur tout le segment $[a,b]$.

Il existe toute une collection de propriétés des solutions des équations différentielles linéaires du second ordre, moyennant telle ou telle propriété des fonctions-coefficients. On trouve ça dans des livres, qui sont faits pour être lus.

Bonne journée.

RC

Oui JLT,
Il faut regarder le comportement entre deux zéros. On sait que y" est nul quand y=0 et on sait comment varie la fonction entre deux zéros (convexe ou concave, parce que sinon la dérivée s'annule et donc la fonction!). Comme elle est convexe ou concave, la dérivée croit ou décroit et la dérivée seconde est de signe constant. A la fin, y"/y est de signe constant. Il ne peut y avoir infinité de zéros que dans le cas où y"/y est négatif.
Ce n'est pas rédigé, ce n'est pas mon boulot, mais l'idée est là.
Il ne faut surtout pas résoudre l'équadiff. Il faut répondre à la question posée.
J'aimerais d'ailleurs bien voir la solution "évidente" mais bien gardée de par soi !

est-ce que tu lis les réponses que l'on te fait, franchement ??? Toutes les indications sont données. De plus, on ne PEUT PAS savoir à quoi ressemble $f$.

Et qu'est-ce qui est un bon début ? tu n'as rien écrit, pas une ébauche de raisonnement. Tu crois vraiment que tu vas progresser, comme ça ?