Générateurs et relations

Du coup, en tant qu'algèbre, peut-on écrire quelque chose comme $C([a,b])$ est l'algèbre engendrée par (un ?) élément $c$, qui vérifie quelque chose (positivité...) ?

Au passage si j'ai deux $C^*$-algèbres $A$ et $B$ définies par générateurs et relations, savez-vous comment se présente $A\otimes B$ ?

Ah oui pardon ! Ok pour la norme maximale, et pour la norme minimale ce n'est pas pareil ? (donc en supposant que $A$ se représente fidèlement sur $B(H)$ et $B$ sur $B(K)$...).

Oui en effet; merci JLT... j'ai lu un peu de choses sur les $C^*$-algèbres...
Je comprends que ces deux normes sont différentes sur le produit tensoriel $A\otimes B$ (par définition) mais je ne comprends pas pourquoi c'est avec la norme maximale qu'on obtient ""ce qu'on attend"" (je veux dire par là que ça semble "naturel" que les relations de $A$ et $B$ persistent sur $A\otimes B$ (plus effectivement le fait que les générateurs commutent...) Mais je ne vois pas trop pourquoi c'est la norme maximale qui donne cette propriété... Peux tu m'aider ou m'indiquer un ouvrage/référence si tu en connais ?).
Merci

Ok je crois que je vois un peu... Les $C^*$-algèbres qui vérifient les mêmes relations sont des quotients de la $C^*$-algèbres avec les générateurs et relations venant de $A$ et $B$ + relations de commutation que tu décrivais et la norme maximale est la plus "grande " norme sur le produit tensoriel.