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Générateurs et relations

Envoyé par fanf 
Générateurs et relations
il y a sept années
Bonjour,
j'ai déjà rencontré des groupes engendrés par générateurs et relations...
Je me demandais du coup ce que ça donnerait si l'on voulait définir par générateurs et relations les fonctions sur un compacts, disons $C([a,b],\C)$ (fonctions continues sur un segment de $\R$ à valeurs dans $\C$ )?
Merci...
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
avatar
Comme elles forment un espace vectoriel, il existe toujours une base.
La base donne les générateurs ; il n'ya pas ici de relation !
Ga?
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
Une base n'engendre pas l'espace vectoriel en tant que groupe....
JLT
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
avatar
Il faudrait que fanf indique dans quelle catégorie il se place. Celle des groupes ? Des C-algèbres de Banach ? Des C*-algèbres ?
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
Du coup, en tant qu'algèbre, peut-on écrire quelque chose comme $C([a,b])$ est l'algèbre engendrée par (un ?) élément $c$, qui vérifie quelque chose (positivité...) ?
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
Oui $C^*$-algèbre c'est un cadre qui me conviendrait bien JLT en fait...
JLT
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
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Il faudrait arriver à écrire que $c=c^*$ est un élément tel que $c-a\ge 0$ et $b-c\ge 0$. L'ennui c'est que $c-a\ge 0$ n'est pas à proprement parler une relation.
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
D'accord... Mais les relations du genre $c-a\ge0$ ne peuvent pas s'écrire $c-a=dd^*$ pour un certain $d$ et du coup "être une relation" ?
JLT
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
avatar
Si tu fais ça tu as un élément $d$ "en dehors" de $C([a,b])$.
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
D'accord, je comprends...
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
Au passage si j'ai deux $C^*$-algèbres $A$ et $B$ définies par générateurs et relations, savez-vous comment se présente $A\otimes B$ ?
JLT
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
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Si c'est le produit tensoriel "maximal", et si A et B sont unifères, alors ce sont les générateurs de A, ceux de B, munis des mêmes relations, avec en plus le fait que les générateurs de A commutent avec ceux de B.
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
Ah oui pardon ! Ok pour la norme maximale, et pour la norme minimale ce n'est pas pareil ? (donc en supposant que $A$ se représente fidèlement sur $B(H)$ et $B$ sur $B(K)$...).
JLT
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
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Ca ne peut pas être pareil, sinon les deux produits tensoriels seraient égaux.
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
Oui en effet; merci JLT... j'ai lu un peu de choses sur les $C^*$-algèbres...
Je comprends que ces deux normes sont différentes sur le produit tensoriel $A\otimes B$ (par définition) mais je ne comprends pas pourquoi c'est avec la norme maximale qu'on obtient ""ce qu'on attend"" (je veux dire par là que ça semble "naturel" que les relations de $A$ et $B$ persistent sur $A\otimes B$ (plus effectivement le fait que les générateurs commutent...) Mais je ne vois pas trop pourquoi c'est la norme maximale qui donne cette propriété... Peux tu m'aider ou m'indiquer un ouvrage/référence si tu en connais ?).
Merci :)
JLT
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
avatar
J'ai la flemme d'écrire une démonstration, mais l'idée est qu'une C*-algèbre définie par générateurs et relations est "en amont", càd s'envoie sur toute C*-algèbre avec des générateurs satisfaisant les mêmes relations, et d'autre part le produit tensoriel maximal est également "en amont", c'est-à-dire s'envoie dans tout produit tensoriel de A par B.
Re: Générateurs et relations
il y a sept années
Ok je crois que je vois un peu... Les $C^*$-algèbres qui vérifient les mêmes relations sont des quotients de la $C^*$-algèbres avec les générateurs et relations venant de $A$ et $B$ + relations de commutation que tu décrivais et la norme maximale est la plus "grande " norme sur le produit tensoriel.
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