série de fonctions

samsam
samsam
dans Analyse
Bonjour,

Dans le Gourdon tome analyse exercice 2 page 226, on trouve l'étude d'une série de fonctions définie comme suit. Soit $u_n$ la suite de fonctions : $$\begin{array}{cccl}
u_n:& \mathbb{R}^+ &\longrightarrow &\mathbb{R} \\
&x&\longmapsto&u_n(x)=\dfrac{x}{n^2+x^2},
\end{array}$$ On définit la série par $\sum u_n(x)$.
Il est montré que cette série converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ (mais pas uniformément) vers une fonction continue $f$.
Les questions que je me pose : \begin{enumerate}
\item Peut-on écrire cette fonction à l'aide de fonctions classiques ?
\item Si la réponse est non, peut-on dire ce qui se passe en + l'infini ? (elle semble avoir une limite finie mais je n'arrive pas à la calculer)
\item Peut-on dire d'autres choses intéressantes sur cette fonction (dérivable ?) ?
\end{enumerate}
Ce que je crois avoir montré : en $0$, cette fonction tend vers $0$ et j'ai calculé comme équivalent $\frac{\pi^2}{6}x$.

Réponses

  • h
    h
    Je n'ai pas regardé suffisamment pour savoir ce que cela donne mais je donne l'idée au cas où : faire apparaître des sommes de Riemann. Cela permettra au moins de minorer l'éventuelle limite. Pour aller plus loin il faut un contrôle des queues, je ne sais pas si c'est facile à obtenir.
  • Juge Ti
    Juge Ti
    Sauf erreur, on a $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{\operatorname{th}(\pi x)}-\dfrac{1}{x}\right)$ pour tout $x>0$.

    On peut le montrer par exemple en développant en série de Fourier la fonction $t\in\,]-\pi,\pi]\mapsto\operatorname{ch}(xt)$.
  • P5
    P5
    $$\frac{x}{n^2+x^2}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{n-ix}-\frac{1}{n-ix}\right)=\frac{1}{2i}\int_0^{\infty}e^{-ns}(e^{isx}-e^{-isx})ds,$$ $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{n^2+x^2}=\int_0^{\infty}\frac{\sin sx}{1-e^{-s}}ds$$...et là je sèche.
  • samsam
    samsam
    Merci pour votre aide et bravo Juge Ti! J'ai pas encore vérifié ton calcul mais quand je trace ta fonction $f$ et une somme tronquée de la série, elles coïncident bien quand $n$ est grand. Un équivalent en 0 de ta fonction $f$ est bien $\frac{\pi^2}{6}x$ comme j'avais calculé (d'ailleurs au passage ça fournit une démonstration supplémentaire de l'égalité $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$). Et ça répond à mon autre question, en $+\infty$, la limite de $f$ est $\frac{\pi}{2}$. Encore merci.
  • jandri
    jandri
    Bonjour,

    La limite en $+\infty$ de $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac x{n^2+x^2}$ s'obtient simplement par comparaison à une intégrale.
    Il n'est pas nécessaire d'utiliser la formule explicite calculée par Juge Ti.
  • samsam
    samsam
    Ah oui bien joué jandri, en écrivant $\int_1^\infty \frac{x}{t^2+x^2}dt<\sum u_n <\int_0^\infty \frac{x}{t^2+x^2}dt$, je trouve $\frac{\pi}{2}-\arctan(1/x)<\sum u_n <\frac{\pi}{2}$ et donc ma limite en $+\infty$.... merci
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