Gronwall "décroissant"

JL13 · April 2013

Bonjour,

si j'ai une fonction $y$ continue positive et des constantes $a$, $b>0$ telles que pour tout $t\geq 0$
$$y(t)\leq a - b\int_0^ty(s)ds,$$
peut-on espérer, à l'instar du lemme de Gronwall, avoir une décroissance exponentielle de la fonction $y$ ? Je n'arrive pas à le montrer...

Merci d'avance.

Welfar · April 2013

Je n'ai pas l'impression que ce soit vrai en général. Je te conseille d'écrire
$y(t) = a-b\int_0^t y(s)ds + g(t)$

où $g$ est continue négative, de donner la forme des solutions de cette EDO, et de voir ce que ça te donne sur la décroissance éventuelle de $y$.

C'est une façon de démontrer Gronwall d'ailleurs (sous des hypothèses pas trop faibles).

h · April 2013

Si $y$ est bornée ton inégalité est vérifiée pour $a$ assez grand.

JL13 · January 2014

Bonjour
Je reviens sur cette question. Plus précisément on suppose que $y\geq 0$ vérifie $$y(t)+\alpha\int_0^ty(s) ds \leq y(0),$$ A-t-on $y(t)\leq y(0)e^{-\alpha t}$ ?
Merci

uhg · January 2014

$f'(t)+af(t)\leq f(0)$

$(exp(at)f(t)) ' \leq f(0).exp(at) $ on intègre entre 0 et t

$exp(at)f(t) - f(0) \leq f(0)\frac{exp(at)-1}{a} $ je te laisse continuer

JL13 · January 2014

Merci pour ton message. Cependant, tu n'as pas pris le même énoncé que moi.

Kelenner · January 2014

Bonsoir,

Il me semble que (si j'ai bien compris) pour la question de départ: " $a,b >0$, $y(t)\geq 0$ sur $[0,+\infty]$, est-ce que l'hypothèse $$y(x)+b\int_0^x y(t)dt \leq a$$ pour tout $x\geq 0$ implique que $y(x)$ tend vers $0$ de manière exponentielle ? ", admet le contre-exemple
$\displaystyle y(x)=\frac{1}{1+x^2}$ puisque $$y(x)+b\int_0^x y(t)dt=\frac{1}{1+x^2}+b\,\arctan(x)\leq a=1+b\frac{\pi}{2}
$$ Cordialement.

Gronwall "décroissant"

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