Ultrafiltres

Un ultrafiltre $\omega$ sur $\N$ est une partie de $\mathcal{P}(\N)$, avec des propriétés que tu as dû voir.
Une autre façon de voir : se donner un ultrafiltre revient à se donner un morphisme d'algèbres de Boole $\varphi :\mathcal{P}(\N) \to 2=\{0,1\}$ : $\omega=\varphi^{-1}(1)$.
L'ultrafiltre principal associé à l'entier $n\in\N$ est $\{A\subset \N\mid n\in A\}$. Les ultrafiltres intéressants sont les non-principaux. En très gros, tu peux le voir comme des "entiers idéaux".

prendre des limites suivant cet ultrafiltre tout en respectant la règle $ F_n\subset F_m$ si $ n\le m$

Je ne comprends pas ce que ça veut dire. Tu pourrais être plus précis ?

Les $f_n$ arrivent dans quoi ? Supposons que les $f_n$ arrivent toutes dans un ensemble $X$. Soit $g\in G$ fixé. Alors $f_n(g)$ fait sens pour $n$ suffisamment grand puisque $g\in F_n$ pour $n$ suffisamment grand. Donc la limite de $f_n(g)$ selon l'ultrafiltre non principal $\omega$ fait sens, comme élément de l'ultrapuissance de $X$ (ensemble des suites d'éléments de $X$, modulo l'identification de deux suites quand l'ensemble des indices où elles coïncident appartient à $\omega$)..

@fanf,

les ultrafiltres sont un outil simple et puissant. Mais ne reste pas, comme tu dis, dans le flou, fais peut etre quelques exos de base les concernant.

Comme te l a dit Zo, si E est un ensemble et e un elt de E alors W(e):={X inclus dans E | e dans X } est un ultrafiltre sur E dont les quelques proprietes algebriques t indiquent pourquoi un (eventuellement autre) ultrafiltre sur E est un element virtuel de E.

Les deux proprietes magiques d un ultrafiltre W sont que:

1) si A,B sont tous deux des elts de W alors A inter B aussi
2) si A union B est un elt de W alors l un des deux au moins parmi A,B est un elt de E

(le reste est detail technique)

A cause de ces deux proprietes, un nombre fini de questions posees trouveront tjs une reponse coherente ie rien ne te permettra de demasquer W comme n etant pas un eventuel W(e)

De la meme maniere que si tu avais affaire a un W(e), si f est une application de E dans F alors { X inclus dans F | {x dans E| f(x) dans X} dans W} est un ultrafiltre sur F qui est l image «virtuelle» de W par f, etc?etc

Par exemple j ai vu que tu parlais de proba au premier post. Bin pour n entier et A inclus dans IN: pose m(n, A):= card (A inter n) / n

Soit W un ultrafiltre non principal sur IN. Soit A une partie de IN. Pose z(A):= l unique x reel tel que pour tout epsilon >0 : {n entier | m(n,A) compris entre x-epsilon et x+epsilon} est un elt de W.

Et bien «amuse toi» a prouver que z est un zoli proba diffuse qui mesure toutes les parties de IN.