Ultrafiltres
Bonjour,
j'ai lu dans un texte quelque chose sur les ultrafiltres. Ne connaissant pas la notion j'ai regardé celle-ci dans un autre livre mais j'ai quand même du mal à comprendre ce qui suit - pour résumé ce que dit mon texte est :
Pour tout $n\in\N$ on a une partie finie $F_n$ (sous-ensemble d'un groupe $G$ (le même pour tout $n$) mais je ne pense que ce soit important à ce niveau). Ces parties sont telles que $n\le m\Rightarrow F_n\subset F_m$. Je lis ensuite "soit $\omega$ un ultrafiltre sur $\N$".
Ceci leur permet après de prendre des limites suivant l'ultrafiltre $\omega$ pour construire des mesures de probas pour le contexte.
Je vois bien que la condition $F_n\subset F_m$ a l'air de coller avec la définition des ultrafiltres, mais je ne comprends pas trop ce que veut dire "soit $\omega$ un ultrafiltre sur $\N$. J'imagine que quelque chose de sous-entendu (car clair quand on a l'habitude des ultrafiltres) devrait suivre mais je ne vois pas bien.
Je sais c'est confus mais si vous avez une idée, je vous remercie.
j'ai lu dans un texte quelque chose sur les ultrafiltres. Ne connaissant pas la notion j'ai regardé celle-ci dans un autre livre mais j'ai quand même du mal à comprendre ce qui suit - pour résumé ce que dit mon texte est :
Pour tout $n\in\N$ on a une partie finie $F_n$ (sous-ensemble d'un groupe $G$ (le même pour tout $n$) mais je ne pense que ce soit important à ce niveau). Ces parties sont telles que $n\le m\Rightarrow F_n\subset F_m$. Je lis ensuite "soit $\omega$ un ultrafiltre sur $\N$".
Ceci leur permet après de prendre des limites suivant l'ultrafiltre $\omega$ pour construire des mesures de probas pour le contexte.
Je vois bien que la condition $F_n\subset F_m$ a l'air de coller avec la définition des ultrafiltres, mais je ne comprends pas trop ce que veut dire "soit $\omega$ un ultrafiltre sur $\N$. J'imagine que quelque chose de sous-entendu (car clair quand on a l'habitude des ultrafiltres) devrait suivre mais je ne vois pas bien.
Je sais c'est confus mais si vous avez une idée, je vous remercie.
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Réponses
Une autre façon de voir : se donner un ultrafiltre revient à se donner un morphisme d'algèbres de Boole $\varphi :\mathcal{P}(\N) \to 2=\{0,1\}$ : $\omega=\varphi^{-1}(1)$.
L'ultrafiltre principal associé à l'entier $n\in\N$ est $\{A\subset \N\mid n\in A\}$. Les ultrafiltres intéressants sont les non-principaux. En très gros, tu peux le voir comme des "entiers idéaux".
Et donc en prenant n'importe quel ultrafiltre $\omega$ sur $\N$ contenant les parties $[n,+\infty[\cap\N$, je pourrai prendre des limites suivant cet ultrafiltre tout en respectant la règle $F_n\subset F_m$ si $n\le m$ ?
Je ne comprends pas ce que ça veut dire. Tu pourrais être plus précis ?
Disons que je veuille définir une application $F$ sur le groupe $G$ dans lequel les partie finies $F_n$ sont définies et telles que $G$ est la réunion croissante de ces $F_n$. Est-ce que je peux le faire ainsi : $F(g)=\lim_{n\to\omega} f_n(g)$ si $g\in F_n$ et $f_n$ est une application bien définie sur $F_n\subset G$ ?
Merci beaucoup pour ton aide (surtout vue comme était vague ma question de départ!)
les ultrafiltres sont un outil simple et puissant. Mais ne reste pas, comme tu dis, dans le flou, fais peut etre quelques exos de base les concernant.
Comme te l a dit Zo, si E est un ensemble et e un elt de E alors W(e):={X inclus dans E | e dans X } est un ultrafiltre sur E dont les quelques proprietes algebriques t indiquent pourquoi un (eventuellement autre) ultrafiltre sur E est un element virtuel de E.
Les deux proprietes magiques d un ultrafiltre W sont que:
1) si A,B sont tous deux des elts de W alors A inter B aussi
2) si A union B est un elt de W alors l un des deux au moins parmi A,B est un elt de E
(le reste est detail technique)
A cause de ces deux proprietes, un nombre fini de questions posees trouveront tjs une reponse coherente ie rien ne te permettra de demasquer W comme n etant pas un eventuel W(e)
De la meme maniere que si tu avais affaire a un W(e), si f est une application de E dans F alors { X inclus dans F | {x dans E| f(x) dans X} dans W} est un ultrafiltre sur F qui est l image «virtuelle» de W par f, etc?etc
Par exemple j ai vu que tu parlais de proba au premier post. Bin pour n entier et A inclus dans IN: pose m(n, A):= card (A inter n) / n
Soit W un ultrafiltre non principal sur IN. Soit A une partie de IN. Pose z(A):= l unique x reel tel que pour tout epsilon >0 : {n entier | m(n,A) compris entre x-epsilon et x+epsilon} est un elt de W.
Et bien «amuse toi» a prouver que z est un zoli proba diffuse qui mesure toutes les parties de IN.