Équivalent d'une somme

Je propose $\dfrac{\pi^2 n^2}{12}$. Je donnerai mon idée de preuve tout à l'heure.

De rien à tous ! (tu)

Mais, moi, je n'y suis pour rien, j'ai juste recopié l'estimation à partir du bouquin indiqué, et il y est aussi stipulé que, pour arriver à avoir une telle précision, il est nécessaire de traiter des sommes d'exponentielles par la méthode dite de Vinogradov !

J'ai lu ça dans le bouquin cité en référence, et c'est largement au-dessus du niveau L1/L2 (et même M2...).

Ma méthode était la même que celle de Dupon dt.
Je détaille : $E(\frac{n}{i})$ est le nombre de multiples de $i$ inférieurs à $n$. On peut alors réécrire la somme (que je noterai $S_n$) :
\[ S_n = \displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{k \text{ tels que }ik \leqslant n} i = \sum_{\text{couples } (i,k) \text{ tels que }ik \leqslant n} i = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^{E(\frac{n}{k})} i = \sum_{k=1}^n \dfrac{E(\frac{n}{k})\left(E(\frac{n}{k})+1\right)}{2} \]
Donc $\displaystyle \dfrac{1}{n^2} S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{E(\frac{n}{k})\left(E(\frac{n}{k})+1\right)}{2n^2}$.
Or, à $k$ fixé, $ \dfrac{E(\frac{n}{k})\left(E(\frac{n}{k})+1\right)}{2n^2} \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \dfrac{1}{2k^2}$. On conclut avec le théorème de convergence dominée sur les séries.

Je tente la solution suggérée par Guillaume02.

On a $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}iE(\frac{i}{n}) = n^{2} \times \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n}E(\frac{1}{i/n})$.

Or $E(\frac{1}{t})$ est Riemann-intégrable sur $[\alpha, 1]$ pour tout $\alpha > 0$, en tant que fonction monotone, donc $tE(\frac{1}{t})$ aussi.

De plus, $1-t < tE(\frac{1}{t}) \leq 1$ donc $tE(\frac{1}{t})$ se prolonge en $0$ par continuité avec la valeur $1$. Donc la fonction prolongée est Riemann-intégrable sur $[0,1]$, et par le théorème des sommes de Riemann on a $\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n}E(\frac{1}{i/n}) = \int_{0}^{1} tE(\frac{1}{t}) dt$.

On fait le changement de variable $x = \frac{1}{t}$ (théorème de changement de variable pour une intégrale impropre, $1/t$ est bien un C1 difféomorphisme), et alors $\displaystyle \int_{0}^{1} tE(\frac{1}{t}) dt = \int_{1}^{+\infty} \frac{E(x)}{x^{3}} dx$.

Or $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{E(x)}{x^{3}} dx = \lim\limits_{N \rightarrow +\infty} \int_{1}^{N} \frac{E(x)}{x^{3}} dx = \lim\limits_{N \rightarrow +\infty} \sum_{n=1}^{N-1} \int_{n}^{n+1} \frac{n}{x^{3}} dx$.

Après quelques calculs on trouve que $\displaystyle \int_{n}^{n+1} \frac{n}{x^{3}} dx = \frac{3}{n} - \frac{3}{n+1} + \frac{3}{(n+1)^2}$.

Et donc en sommant le tout on a $\displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} \int_{n}^{n+1} \frac{n}{x^{3}} dx = 3 - \frac{3}{N} + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{3}{(n+1)^{2}} = 3 - \frac{3}{N} + \sum_{n=1}^{N} \frac{3}{n^{2}} - 3 \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} 3 - 0 + \frac{3\pi^{2}}{6} - 3 = \frac{3\pi^{2}}{6}$.

CQFD :)o

Edit : J'ai été grillé par Guillaume02 pendant que j'écrivais 8-) Je mets vraiment beaucoup de temps à écrire, mon message avait commencé lorsqu'il suggérait d'étudier l'intégrale

Edit 2 : Et évidemment je me suis planté dans le calcul puisque je ne trouve pas la même chose que vous. Je vais essayer de voir où est l'erreur.

Edit 3 : Par ailleurs j'ai fait un changement de variable sur une fonction non continue (et qui a même une infinité de de points où elle est discontinue), je n'ai en mémoire aucun théorème qui me permet de le faire, il est donc possible que ce changement de variable soit ne soit pas justifié. A creuser ...

J'ai vaguement souvenir d'avoir peut-être lu qu'un changement de variable sur une fonction réglée fonctionne, et comme la fonction considérée ici est bornée et monotone, elle est donc réglée. On doit donc pouvoir s'en sortir. Le fait qu'on passe à une intégrale impropre ne pose aucun problème, il suffit de le faire sur un intervalle fermé puis ensuite de passer à la limite.

J'ai peut-être lu ça dans les livres de Roger Godement mais je ne suis vraiment pas sûr.

Edit : La fonction n'est pas monotone !!!

Edit 2 : Oui mais la fonction a une limite à gauche et à droite en tout point, donc elle est réglée, donc ça devrait marcher quand même !

Ok merci, je me suis juste complètement planté dans la primitive de 1/x^3, la honte X:-(
Je corrigerai quand j'aurai le temps.

Quelqu'un peut me confirmer en revanche ce que je dis sur le changement de variable dans l'intégrale ? J'avoue que je n'ai pas complètement confiance dans ma justification.

(...) pour ceux que ça intéresse, voilà comment Walfisz a amélioré le terme d'erreur à la fin des années 50 :

1. Au lieu d'utiliser la trivialité $\lfloor t \rfloor = t + O(1)$, on utilise la formule plus précise $\lfloor t \rfloor = t - \psi(t) - \frac{1}{2}$, où $t \longmapsto \psi(t)$ est la première fonction de Bernoulli. En remplaçant les parties entières dans mon calcul plus haut par cette estimation, on arrive à
$$\sum_{n \leqslant x} \sigma(n) = \frac{x^2 \zeta(2)}{2} - x \sum_{d \leqslant \sqrt x} \frac{1}{d} \psi \left ( \frac{x}{d} \right ) + O(x).$$

2. Walfisz s'est alors attaqué à la somme du 2nd membre. On note d'abord que

(i) L'estimation triviale due à l'inégalité triangulaire montre que cette somme est en $O(\log x)$ et on retrouve le terme d'erreur obtenu plus haut. Il faut donc trouver comment faire mieux que l'inégalité triangulaire.

(ii) La fonction $\psi$ est très oscillante, et les premières valeurs de l'indice apportent la plus grosse contribution à la somme. L'idée est alors de découper cette somme en deux (an allant pas trop loin), de façon à ce que la seconde somme soit majorable plus facilement.

3. Walfisz s'est alors tourné vers l'analyse de Fourier : la fonction $\psi$ étant impaire et $1$-périodique, elle admet un développement en série de Fourier. Malheureusement, $\psi$ a des discontinuités en chaque entier et la convergence n'est pas uniforme (contrairement à ce qui se passe pour les autres fonctions de Bernoulli). On travaille alors plutôt avec les sommes partielles de la séries de Fourier, pour lesquelles on dispose d'outils performants.

4. Ainsi, Walfisz ramène le problème à estimer des sommes d'exponentielles de la forme $\sum_{N < n \leqslant N_1} e^{2 i \pi x/n}$ (avec $N < N_1 \leqslant 2N$), pour lesquelles on applique la méthode de Vinogradov qui fournit le résultat exceptionnel suivant :
$$\sum_{N < n \leqslant N_1} e^{2 i \pi x/n} \ll N \exp \left ( -c_0 \, \frac{\log^3 N}{(\log x/N)^2} \right ).$$
On remonte alors à la somme initiale par sommation partielle et le tour est joué.

[Edit: introduction tronquée. jacquot]

Surtout que la suite du message est particulièrement riche et intéressante !

En tous cas tu sembles avoir parfaitement assimilé les grandes idées...

PS : Je suis d'accord pour dire que Duroc semble très bien connaître le sujet, il pourrait presque avoir écrit le bouquin

Je remercie Guego pour ses indications ( http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,850374,850509#msg-850509). Je m'intéresse à la question de calculer exactement des sommes comme $\sum_{k=1}^{n} \sigma(k)$ et son indication m'a éclairé

Je cherchais, sans succès, un moyen de trouver simplement et rapidement les valeurs de $k$ pour lesquelles:

l'équation $E\Big(\dfrac{N}{x}\Big)=k$ n'a pas de solution avec $N>0$ entier fixé , $x$ entier inconnu et $E()$ la fonction partie entière.

Le script Pari-GP qui suit permet de calculer $\sum_{k=1}^{n} \sigma(k)$ lorsque $n$ est un carré.
(cela permet, entre autres, de calculer rapidement $\sum_{k=1}^{10^{12}} \sigma(k)$ proposée par Guego et qui donne le même résultat)

f(n)=\{n*(n+1)/2\}
sigm(n)=\{
local(l=floor(sqrt(n))-1,s=0,u=n,v);
for(i=1,l,v=u;u=floor(n/(i+1));s=s+f(v)+(v-u)*f(i));
return(s+f(u));
\}

PS:
Je ne prétends pas que ce script ne peut pas optimisé pour des calculs plus rapides.

Guego:

Il y aurait un truc à optimiser dans ton code par exemple:

a=n/(k+1)
b=n/k

Sur l'exécution complète du premier while tu auras calculé plusieurs fois les mêmes nombres.


Et je suis un peu surpris de la suite:

while i>0:
        somme+=i*(n/i)
        i-=1

Tu n'utilises pas totalement la formule :

$$\sum_{i=1}^{n} \sigma(i)=\sum_{k=1}^{n} f\Big(E\Big(\dfrac{n}{i}\Big)\Big)$$

où $$f(x)=\dfrac{x(x+1)}{2}$$


Par ailleurs, combien de fois les while bouclent?

Une mise à jour du script Pari-GP précédent.

En principe, il calcule $ \sum_{k=1}^{n} \sigma(k)$ pour tout $n>1$ entier

sigm(n)=\{
local(l=floor(sqrt(n)),s=0,t=0,u=n,v);
for(i=1,l,v=u;u=floor(n/(i+1));t=t+i;s=s+v*(v+1)/2+(v-u)*t);
if(l==v,return(s-l*(l+1)/2),return(s));
\}

PS:
Pour ceux qui veulent le tester et qui connaissent très peu Pari-GP.
Sous Windows, Il faut créer un fichier par exemple, toto.txt, mettre le listing du script dedans et le mettre dans le répertoire:

C:/Program Files/PARI/examples

(les antislash ne fonctionnent pas en mode latex, mais il faut remplacer / par un antislash)

Pour qu'il soit pris en compte par Pari-GP il faut exécuter l'instruction:
read("toto.txt") et la fonction sigm() devient disponible (attention au fait qu'il existe déjà une fonction sigma())

C'est pareil que le théorème de convergence dominée normal, mais avec des séries à la place des intégrales :

Tu as une suite double $a_{i,j}$ telle que, pour tout $i$, $a_{i,j}$ converge vers $b_i$ (lorsque $j$ tend vers $+\infty$), et telle que, pour tout $i$ et $j$, $|a_{i,j}| \leqslant c_i$ où $c_i$ ne dépend pas de $j$ et est le terme général d'une série convergente.
Alors la série $\sum b_i$ converge et $\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} a_{i,j} \xrightarrow[j \rightarrow +\infty]{} \ \sum_{i=0}^{+\infty} b_i$.