Support distributions

Admissible1
Admissible1
dans Analyse
Je cherche à montrer que le support dans $R^2$ de la distribution défini par l'opérateur de Cauchy Riemann $1/2(\partial/x +i\partial/y) = \partial/ \overline{z}$ est ${(0,0)}$. Pour ce faire, je dis que la fonction $z -> 1/z$ est holomorphe donc $(\partial/ \overline{z} )(1/z) = 0$.
Le caractére $C^\infty$ en dehors de zéro de $1/z$ est clair, mais pour montrer que c'est une fonction test, je dois montrer que le support est compact, ce qui me parait étrange.

Qu'en est-il?

Réponses

  • GreginGre
    GreginGre
    Salut,

    tu dis que $z\mapsto\dfrac{1}{z}$ est holomorphe, mais sur quel domaine ?

    D'autre part, elle n'est pas à support compact, donc tu auras du mal à montrer que c'est une fonction test (sauf erreur...ça fait 20 ans que je n'ai pas fait de distributions).
  • egoroffski
    egoroffski
    Hello,

    Greg a de beaux restes et il a parfaitement raison. J'ajouterais que "la distribution définie par un opérateur différentiel" ça ne veut rien dire de précis. Tu parles d'une solution fondamentale ?
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Ce qui est vrai, c'est que $z\mapsto z^{-1}$ est localement intégrable et définit donc une distribution.
    Pour faire suite à la remarque d'Egoroffski, rappelons qu'une distribution est avant tout une forme linéaire, et associe donc à toute fonction test un nombre réel.
  • Admissible1
    Admissible1
    Excusez moi, j'ai posté sans avoir assez réfléchi avant.
    J'ai repris les choses calmement et c'est bon.
    On s’intéresse à l'opérateur différentiel de Cauchy Riemann, on lui applique la distribution donnée par z->1/z qui est bien définie car sur R^2, 1/z est localement intégrable.
    Donc pour toute fonction test phi dont le compact est inclus dans R^2\(0,0), < opérateur de Cauchy appliqué à 1/z, phi > est nulle donc le support de opérateur de Cauchy appliqué à 1/z est inclus dans (0,0), et (0,0) est dans le support en considérant une fonction test bien choisi, par exemple e^-(z*zbar)

    Oui 1/z ne pourra jamais être à support compact, sinon par théorème de prolongement holomorphe, elle serait nulle sur R^2\(0,0) donc sur R^2.

    [En toute occasion, Augustin Cauchy (1789-1857) prend une majuscule. AD]
  • egoroffski
    egoroffski
    admissible1 a écrit:
    On s'interesse à l'opérateur différentiel de Cauchy Riemann, on lui applique la distribution donnée par z->1/z
    C'est plutôt l'opérateur qui s'applique à la distribution, mais bon.
    admissible1 a écrit:
    pour toute fontion test phi dont le compact est inclus dans $\R^2\setminus (0,0)$, est nulle donc le support de opérateur de cauchy appliqué à 1/z est inclus dans (0,0), et (0,0) est dans le support en considérant une fonction test bien choisi, par exemple e^-(z*zbar)
    Rien compris. C'est quoi le compact d'une fonction ? Quel rapport entre phi et la distribution $\frac{\partial}{\partial \bar{z}} \frac{1}{z}$ ? Je pense que tu devrais tout reprendre à zéro, regarder ton cours, et revenir avec les idées plus claires.
  • Admissible1
    Admissible1
    Merci Mr Ergoroff :p Mais tout me parait clair, j'étais pressé lors de mon dernier message. La fonction $\phi$ que je considère est une fonction test, dans $D(\R^2\setminus(0,0))$, c'est-à-dire à support dans $\R^2\setminus(0,0)$ et $C\infty$.
    Comme je cherche à montrer que le support de $ \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \frac{1}{z}$ est inclus dans $\{(0,0)\}$, il faut montrer que pour toute fonction test $\phi \in D(\R^2\setminus(0,0))$, la distribution s'annule en $\phi$.
    Et le tour est joué.

    [La case LaTeX. AD]
  • egoroffski
    egoroffski
    D'accord, ça devient plus clair.. petit à petit :)

    Tu es donc en train de montrer que, en notant $T=\frac{\partial}{\partial \bar{z}} \frac{1}{z}$, alors la restriction de $T$ à l'ouvert $\C^*$ est nulle. Ce qui, par définition du support, montrera du même coup que $\mathrm{supp} \, T \subset \{0\}$. Sauf que je ne vois pas où tu as montré que $T_{|\C^*}=0$, même s'il y a des bribes de raisonnement ici et là. Est-ce qu'on pourrait avoir un message construit ?
  • Admissible1
    Admissible1
    Si l'on applique l'opérateur de Cauchy Riemann à une fonction holomorphe (ici vu comme une distribution, car localement intégrable), on obtient une distribution nulle, n'est-ce pas ?
    Eh bien je montre justement que comme la fonction $z\mapsto 1/z$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}^*$, $T$ est nulle sur $D( \mathbb{C}^*)$, donc $ T_{\vert\mathbb{C}^*}=0$ (au sens des distributions). N'est-ce pas suffisant ? (il me manque alors, si ce n'est pas le cas, un petit quelque chose).
  • egoroffski
    egoroffski
    admissible1 a écrit:
    Si l'on applique l'opérateur de Cauchy Riemann à une fonction holomorphe (ici vu comme une distribution, car localement intégrable) , on obtient une distribution nulle, n'est ce pas ?
    Je ne dis pas que c'est faux, mais ce n'est pas immédiat, puisqu'on parle a priori de dérivées au sens des distributions.. il faut un argument de localité.
  • Admissible1
    Admissible1
    Egoroff, pourrais-tu développer ? J'avoue ne pas saisir l'argument de "localité".

    Je pensais que ma justification suffisait, mais je passe peut etre a coté d'un point important.

    Merci par avance
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