Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
104 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Somme d'une série

Envoyé par Guillaume02 
Guillaume02
Somme d'une série
il y a six années
Bonjour à tous,

Un peu dans la même veine que l’équivalent de $\displaystyle \sum_{k=1}^n k\mathrm{E}\left(\dfrac{n}{k}\right)$ que je vous avais proposé ici www.les-mathematiques.net, brillamment résolu par vos soins, voici un autre exercice que j’ai eu plaisir à résoudre:

Citation

Calculer, si elle existe, la somme de la série de terme general $\displaystyle u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$.

Bien à vous,

Guillaume
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
On pourra sommer tous les premiers termes, tous les deuxièmes termes etc.
Siméon
Re: Somme d'une série
il y a six années
N'ayant pas le temps de faire plus pour l'instant, justifions déjà la convergence. En utilisant le développement asymptotique à deux termes de la série harmonique, nous avons (pour $\gamma$ la constance d'Euler) :
$$
a_n = \frac{(-1)^n \ln n}{n} + \gamma \frac{(-1)^n}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right).
$$
Le $O$ est le terme général d'une série absolument convergente tandis que les deux autres termes fournissent des séries semi-convergentes alternées.

Notons en revanche que $\sum_{n=1}^\infty |a_n| = +\infty$. Difficile donc t'intervertir les sommations tel quel...
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
Bonjour jacquot et Siméon,

@Siméon : oui, c'est sans doute le plus simple pour montrer la convergence.

@jacquot : malheureusement la série ne converge pas absolument, et dès lors il est difficile de réordonner la sommation, si c'est bien ce que tu voulais dire.

:)
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Pour la convergence penser au critère spécial des séries alternées.
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
Bonjour Le Respect,

Je précise que j'ai déjà résolu l'exercice, et s'assurer de la convergence n'est bien sûr pas le plus délicat.
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Est-ce que l'exercice est issu d'un oral, si oui de quel concours ? Juste pour que je situe le niveau de l'exo.

Merci d'avance,
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
La somme est $(\ln 2)^2-\dfrac{\pi^2}{12}$

The bee, when harvesting honey, do not cut the flower
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
Bonjour skyffer3,

Si mes souvenirs sont bons, la planche orale voulait juste faire montrer la convergence au candidat, c'est je pense du niveau de Centrale. Le développement asymptotique de la série harmonique n'est pas au programme et l'examinateur titilleur peut demander de la démontrer.

Par contre, ca ne me choquerait pas que ce développement asymptotique soit accepté à l'X ou à l'ENS sans démonstration, mais l'examinateur demanderait aussi le calcul de la somme dans ce cas.
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
@ Le Respect : c'est presque la bonne réponse.
Re: Somme d'une série
il y a six années
bonjour

la convergence de la série alternée ne pose pas de problème
puisque l'expression $\frac{1}{n}H_n$ reste constamment positive
avec $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +.........+ \frac{1}{n}$ somme harmonique des entiers naturels

la limite de ta série est égale à $\frac{\pi²}{12} - \frac{1}{2}\ln²2$

tu pars du développement valable pour $x > - 1$ :

$\frac{\ln(1+x)}{x(1+x)} = 1 - H_2.x + H_3.x² - H_4.x^3 + ......... + (-1)^n.H_n.x^{n-1} +......$

tu décomposes la fraction $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ et tu intègres chaque membre de l'équation de $0$ à $1$:

$\int_0^1\frac{ln(1+x)}{x}dx - \int_0^1\frac{ln(1+x)}{x+1}dx = \sum_1^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}H_n$

or la première intégrale est égale à $\frac{\pi²}{12}$ (il suffit de développer en série et intégrer terme à terme)
et la seconde intégrale est égale à $\frac{1}{2}\ln²2$ (par intégration directe)
d'où le résultat annoncé

cordialement
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
@ Jean Lismonde : OK pour le raisonnement, mais la valeur de la somme est du signe opposé à celle que tu donnes ;)
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Bravo thumbs down

Et on prouve le développement en série entière intial par produit des deux séries entières $ln(1+x)$ et $\frac{1}{1+x}$. Pas mal du tout, il faut y penser à la formule du produit de deux séries entières pour voir comment faire apparaître une série alternée en $H_{n}x^{n}$. Il faut de plus penser dès le début qu'en intégrant cette série on obtient le terme voulu, pour ensuite se demander quelle fonction se développe selon cette série.
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
Citation
Jean Lismonde
la convergence de la série alternée ne pose pas de problème
puisque l'expression reste constamment positive

Encore faut-il montrer que la suite $\displaystyle \left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\right)_{n\ge1}$ est décroissante ...
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
@ skyffer3 : Effectivement, il faut du nez pour sentir le produit de Cauchy des deux séries entières et y trouver l'expression de $H_n$. C'est un raccourci !

Une autre méthode est de considérer la somme partielle, et de permuter les deux sommes (finies). On retombe alors sur les deux intégrales de jean lismonde à calculer


:)
bs
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Bonjour,

Et pour la petite soeur ?

Calculer, si elle existe, la somme de la série de terme general : $\displaystyle v_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\log(n)$.

Amicalement.
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
Bonjour bs,

et merci pour l'extension de l'exercice.

On a $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}\ell n(n)\ =\ \dfrac{\ell n(2)}{2}\left(2\gamma-\ell n( 2)\right)$
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Je me permets juste de préciser certains arguments dans la preuve de Jean Lismonde.

Selon moi (reprenez moi si c'est erroné), le rayon de convergence de la série $\frac{\ln(1+x)}{x(1+x)} = 1 - H_2.x + H_3.x² - H_4.x^3 + ......... + (-1)^n.H_n.x^{n-1} +......$ issue du produit de Cauchy a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1, en fait 1 car cette série ne converge pas en 1 !

On ne peut donc pas intégrer directement sur [0,1], en revanche on peut prendre la primitive en $x \in [0,1[$, ou ce qui revient au même intégrer terme à terme sur $[0,x]$ pour obtenir une seconde série entière de rayon de convergence 1, mais qui cette fois converge en 1 (c'est la série d'origine dont on veut calculer la limite et dont on a prouvé la convergence dès le début), donc converge uniformément sur [0,1] d'après le théorème d'Abel, donc est continue en 1, et par passage à la limite lorsque $x$ tend vers 1 on obtient bien le résultat voulu.

Qu'en pensez-vous ?
Re: Somme d'une série
il y a six années
bonjour skyffer3

merci pour les compliments; en fait le développement que tu cites est bien valable pour $x > - 1$ strictement

en effet pour $x = 0$ on vérifie que la continuité de l'expression du premier membre est bien assurée

et pour $x$ supérieure ou égale à $1$ l'expression du premier membre est bien définie
et le développement du second membre converge d'une façon alternée explosive

donc il n'existe pas de problème d'intégration terme à terme sur l'intervalle $[0; 1]$

cordialement

PS: la série proposée par Guillaume02 commence par $-1$, le résultat est en effet l'opposé de celui que j'ai donné
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Ha Jean Lismonde, heureusement que je suis un peu ce forum, ce qui me permet de savoir que tes définitions de convergence sont ... discutables :D
Justement, le second membre converge de façon alternée explosive, dans notre langage à nous ça veut dire qu'elle diverge. D'où mes arguments supplémentaires pour reprendre ta démonstration en justifiant toutes les étapes :)

Cela n'enlève rien aux idées de ta démonstration qui ont parfaitement permis d'aboutir au résultat ;)
BlackBird
Re: Somme d'une série
il y a six années
Serait-il possible d'avoir une définition de la convergence explosive, ainsi que quelques unes de ses propriétés ? Une recherche sur Google ne donne rien, à part des renvois à ce forum.

Merci.
bs
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Bonjour,
Guillaume 02 thumbs down
Quelques élucubrations \begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n} H_n &=-\dfrac{\pi^2}{12}+\dfrac{(\ln 2)^2}{2} \\
\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n} \ln(n) &= \gamma \log(2) - \dfrac{(\ln 2)^2}{2} \\
\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n} \big[H_n- \ln(n) \big] &= -\gamma \ln 2 -\dfrac{\pi^2}{12} + (\ln 2)^2 \\
H_n- \ln(n) &= \gamma +\dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{12n^2} + o(\dfrac{1}{n^2}) \\
\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n} \big[ \gamma +\dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{12n^2} + o(\dfrac{1}{n^2})] &= \gamma \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n}+\dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n^2} -\dfrac{1}{12} \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n^3} + K \\
\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n} \big[ \gamma +\dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{12n^2} + o(\dfrac{1}{n^2})] &= - \gamma \ln 2 - \dfrac{\pi^2}{24} + \dfrac{\zeta(3)}{16}+K
\end{align*} Amicalement.
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Un petit up pour savoir svp :
1) est-ce que mon extension de preuve donnée sur la page précédente est juste ?
2) est-ce que c'est nécessaire d'avoir complété la preuve de Jean Lismonde comme je l'ai fait ?

Merci d'avance :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par skyffer3.
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
1) Oui, ton extension de preuve est correcte.
2) Oui, la démonstration de Jean Lismonde était incomplète... mais ton extension de preuve n'est pas nécessaire, au sens mathématique, puisque passer par les sommes partielles, comme l'a suggéré Guillaume02, permet de s'en passer.
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Ok merci beaucoup thumbs down

Je vais regarder ce que ça donne directement avec les sommes partielles ;)
BlackBird
Re: Somme d'une série
il y a six années
Pas de réponse pour ma question ? :(
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Je croyais que ta question était ironique ...

Il n'y a pas de réponse "officielle" je pense.

Jean Lismonde utilise d'autres définitions de la convergence que celle usuellement acceptée. D'après ce que j'ai pu voir dans d'autres messages, il semble que cela soit tirée d'une convergence "à la Cesàro", mais je ne peux rien affirmer.

Dans tous les cas la série dont je parlais ne converge pas en 1, au sens usuel. D'où mes arguments supplémentaires pour rendre valide la preuve de Jean Lismonde.
BlackBird
Re: Somme d'une série
il y a six années
Ma question n'était pas réellement ironique, elle était en revanche adressée spécifiquement à Jean Lismonde, qui est très certainement le seul à connaître le sens à attribuer à la convergence explosive.

Même si cette notion n'est pas conventionnelle, je reste encore persuadé qu'il y a une définition formelle de celle-ci, et que l'on peut en déduire un certain nombre de propriétés utiles et qui permettent de faire des démonstrations comme celle de la page précédente.

Néanmoins, pour en être sur, il faut connaître la définition de la convergence explosive, et c'est à celui qui emploie un mot inconnu qu'incombe la charge d'en donner une définition.

J'espère que ma question ne restera pas sans réponse. Dans le cas contraire, je saurai quelle opinion me faire ...
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
Dans ce cas espérons que Jean Lismonde réponde. Il me semble néanmoins avoir vu de nombreux messages où d'autres intervenants demandaient des éclaircissements ... qu'il n'a jamais donnés eye rolling smiley Ou alors j'ai mal cherché.
Re: Somme d'une série
il y a six années
Bonsoir BlackBird.

JL donna quelques éléments à une époque, au début où je suis intervenu sur le forum, donc environ 10 ans.

Cordialement.
Re: Somme d'une série
il y a six années
@ BS

Comment démontre-t-on le résultat relatif à la somme de la série de terme général $(-1)^n\frac{\ln(n)}{n}$ ?

Merci !
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
@ detourre

Je pose $\displaystyle f(n)=\dfrac{\ln n}{n}$ par commodité. La convergence de $\displaystyle \sum_{n\ge1}(-1)^nf(n)$ est assurée par le critère spécial des séries alternées. On a de plus : $$ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^nf(n)=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kf(k)$$ avec $$ \sum_{k=1}^{2n}(-1)^kf(k)=2\sum_{k=1}^nf(2k)-\sum_{k=1}^{2n}f(k).$$ Or $$ \sum_{k=1}^nf(k)=f(1)+\sum_{k=2}^nf(k)-\int_{k-1}^kf(t)\mathrm{d}t+\int_1^nf(t)\mathrm{d}t=\dfrac{(\ln 2)^2}{2}+C$$ par convergence de la série $\displaystyle \sum_{n\ge1}\left[f(n)-\int_{n-1}^nf(t)\mathrm{d}t\right]$.
En exploitant $\displaystyle \ln(2k)=\ln 2+\ln k$, on obtient : $$ 2\sum_{k=1}^nf(2k)-\sum_{k=1}^{2n}f(k)=\gamma\cdot\ln 2-\dfrac{(\ln 2)^2}{2}+o(1)$$ Si bien qu'au final : $$ \blue\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{\ln n}{n}=\gamma\cdot\ln2-\dfrac{(\ln 2)^2}{2}}$$ Sauf erreur,
Amicalement.
Guillaume02
Re: Somme d'une série
il y a six années
Merci Alain d'avoir corrigé mes "\ell n" à la place de "\ln", c'est une vilaine habitude dont j'ai du mal à me défaire :)
[À ton service ;) AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
Re: Somme d'une série
il y a six années
avatar
La constante d'Euler-Mascheroni se retrouve à partir de plusieurs intégrales connues et certaines fonctions analytiques où elle intervient (la démo ici)
Une formule trouvée par Riemann ne fait pas intervenir les relations fonctionnelles et un lien a été établi clairement là entre Euler et zêta de Riemann.

[forum.diplomaths.fr]
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 345, Messages: 1 318 050, Utilisateurs: 24 023.
Notre dernier utilisateur inscrit Etienne l’autre.


Ce forum
Discussions: 30 118, Messages: 277 029.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page