Suite à valeurs complexes et équivalence

Dolman89 · August 2013

Bonjour,

J'aimerais savoir si le raisonnement suivant est valide, dans lequel je veux montrer que la suite [1+in/(n²-1)]ⁿ converge vers eⁱ en utilisant le résultat que (1+z/n)ⁿ converge vers e^z :
[1+in/(n²-1)] ~ (1+i/n) => [1+in/(n²-1)]ⁿ ~ (1+i/n)ⁿ => limite de [1+in/(n²-1)]ⁿ = limite de (1+i/n)ⁿ = eⁱ.

Merci à ceux qui voudront bien confirmer ou infirmer ce raisonnement

Siméon · August 2013

Non ça n'est pas correct : il est vrai que $1+1/n \sim 1$ mais il est faux que $(1+1/n)^n \sim 1^n$.

jean lismonde · August 2013

bonjour

ton raisonnement est un peu court: il serait plus correct de considérer le logarithme népérien de ton expression complexe

puis ensuite de faire tendre $n$ vers $+\infty$ dans la partie réelle et dans la partie imaginaire

sinon le résultat c'est-à-dire la limite de ton expression ne fait aucun doute

cordialement

Raymond Cordier · September 2013

On a : $z_{n}=1+i\frac{n}{n^{2}-1}=\rho _{n}e^{i\theta _{n}}$, avec : $\rho _{n}=\sqrt{1+(\frac{n}{n^{2}-1})^{2}}$, $\theta _{n}=\arctan \frac{n}{n^{2}-1}$.
Trouve la limite de $n\ln \rho _{n}$ et de $n\theta _{n}$.
Bonne nuit (qui porte conseil).
RC
03/09/2013

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