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Adhérence somme directe

Envoyé par fanf 
Adhérence somme directe
il y a six années
Bonjour.

Soit $E$ un espace vectoriel normé. On se donne un sous-espace $A$, dense dans $E$ tel qu'on ait la décomposition en somme directe $A=B\oplus C$ de sous-espaces de $E$.

A-t-on $$E=\overline{A}=\overline{B}\oplus\overline{C}\ ?$$

Merci.
Re: Adhérence somme directe
il y a six années
avatar
Bonjour

Le problème vient de $\overline B\cap \overline C=\{0\}$

J'ai cru avoir un contrexemple dans l'espace des suites rééelles tendant vers 0 muni de la norme $N_\infty$, mais je suis prise d'un doute... donc je réfléchis encore!
Re: Adhérence somme directe
il y a six années
Oui, en effet je ne voyais ce qui coinçait dans le contre-exemple, merci pour de réfléchir à mon problème en tout cas !
Re: Adhérence somme directe
il y a six années
avatar
Cette fois je crois que j'y suis... mais vérifie soigneusement.

$E=\R[X]$ avec $N(a_0+a_1X+...+a_nX^n)=\sup\{|a_0|,...,|a_n|\}$

$A=\{P\mid P(1)=0\}=(X-1)E$. Il s'agit du noyau d'une forme linéaire non continue, c'est un hyperplan non fermé, et $\overline A=E$.)

Soient $B$ le sous espace de $A$ engendré par $(X-1),\ (X^3-1),\ ... (X^{2n+1}-1),...$ et $C$ celui engendré par $(X^2-1),\ ...,\ (X^{2n}-1)...$. Il me semble que $A=B\oplus C$. (c'est ici que je n'ai pas tout écrit) Alors

$1=\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1-\dfrac{X}{n}-...-\dfrac{X^{2n-1}}{n}\right)=\dfrac{-1}{n}((X-1)+...+(X^{2n-1}-1))$ mais aussi
$1=\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1-\dfrac{X^2}{n}-...-\dfrac{X^{2n}}{n}\right)=\dfrac{-1}{n}((X^2-1)^2+...+(X^{2n}-1))$
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