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convergence dans un espace topologique

Envoyé par luluuu 
luluuu
convergence dans un espace topologique
il y a six années
On pose $\Omega_r=\{(x,y) \in \R^2, x^2+y^2=r^2,\ r\in \R_+\}$ et on désigne par $\sigma$ la famille constituée de l'ensemble vide et de toutes les réunions des ensembles $\Omega_r.$
On sait que $(\R^2,\sigma)$ est un espace topologique.
La question est : étudier dans $(\R^2,\sigma)$ la nature de la suite $(u_n)_n=((\sin n,\cos n))_n$

Je suis complétement perdue. Comment on répond à ce genre de question ?
Et merci pour l'aide.
Gnarfgnarf
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
À quoi ressemblent les voisinages d'un point $x \in \Bbb R^2$ ?
À quelle condition une suite converge-t-elle vers un tel $x$ dans ces conditions ?
luluuu
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Je ne comprends pas trop. Je cherche une méthode pour savoir comment on étudite la nature d'une suite dans un espace topologique. Pouvez-vous m'aider ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
avatar
Bonjour

Les réunions de cercles sont bien les ouverts de cette topologie?

Si oui, cette topologie est-elle séparée? Où sont les éléments de ta suite? Quels sont les ouverts qui la contiennent?
luluuu
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
1-Oui, l'espace topologique $(\R^2,\sigma)$ est séparé.
2- Les éléments de cette suite sont dans $[-1,1] \times [-1,1]$,
3-Quels sont les ouverts qui la contiennent ? Je ne sais pas répondre à cette question. Comment le savoir?
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
avatar
L'espace n'est pas séparé. (deux éléments distincts sur un même cercle (centré à l'origine ) ne sont pas séparables).
La suite tend vers n'importe quel élément du cercle trigonométrique.

The bee, when harvesting honey, do not cut the flower
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Le respect, comment vous etes arrivé à conclure que La suite tend vers n'importe quel élément du cercle trigonométrique.? expliquez moi je vous en prie.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Tu demandes à LR:
Citation

comment vous etes arrivé à conclure que La suite tend vers n'importe quel élément du cercle trigonométrique.?

Mais tu dis toi-même:
Citation

On sait que $(\R^2,\sigma)$ est un espace topologique.

Ce qui conduit à penser que la consigne est de ne pas la justifier. Partant de là,

u tend vers a est une abréviatoin de pour tout ouvert $V$ qui contient $a$ comme élément, il existe un entier $n$ tel que pour tout entier $p\geq n: u_p\in V$

et LR se contente (comme tu aurais pu le faire, savoir quoi est l'abréviation de quoi est la base pour parler) de lire (**) et de constater qu'il est vrai pour ta suite $u$ et tout élément du cercle trigo. Prérequis: savoir que $(cos(n),sin(n))$ est un élément de ce cercle.

Remarque: la consigne "quelle est la nature de...?", bof bof
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
avatar
Bonsoir,

Es-tu certaine de la définition de $\Omega_r$ ?

Avec tout mon respect,

Thierry
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Oui je suis sure de la définition de $\Omega_r$. Quelqu'un peut m'aider?
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
J'espérais venir de le faire. Dois-je mettre en rouge ce que j'ai mis en italique?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
avatar
Il me semble clair que $(\sin\,n,\,\cos\,n)$ appartient à
$$
\Omega_1=\left\{(x,\,y)\in\R^2\,:\,x^2+y^2=1^2=1\right\}
$$
pour tout $n$ de $\N$, non ? Remarque bien la définition de $\Omega_1$.

Thierry
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
J'ai lu, mais ca parrait abstrait. Bon, je connais la définition de la convergence d'une suite dans un espace topologique. La question est pourquoi est-ce qu'il existe ce voisinage $V$? et ce $n?$
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
la définition est pour tout voisinage $V$ il existe $n.$ Or que ce qu'on trouve nous, c'est qu'il existe $V=\Omega_1$ .....
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Qu'est ce qu'un voisinage ?

Les $u_n$ ne seraient-ils pas tous dans un même ouvert ?

Quels sont les ouverts de ta topologie ?

Amicalement

Volny (qui va se coucher) :)

[Edit : Ne pas oublier de cocher la case "LaTeX". Bonne nuit ! (T. P.)]
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Citation

Bon, je connais la définition de la convergence d'une suite dans un espace topologique

Bin prends un élément $t$ du cercle trigo, et demande-toi si la forme désabrégée de u tend vers t est vraie dans ton espace topologique alors. Pourquoi tu ne le fais pas?
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Dire que $u_n$ converge vers $l$ dans $(\R^2,\sigma)$ signifie que $$\firall V \in \mathcal{V}(l), \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N: n \geq n_0 ==> x_n \in V$$
Le raisonnement se fait comment? Please.
et est-ce que le fait que cette topologie ne soit pas séparée peut nous aider à déduire la nature de la suite $(u_n)_n$?
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Bonsoir,

Une condition nécessaire pour répondre à la question est de savoir ce qu'est $(\R^2,\sigma)$.
$\sigma$ est un ensemble de parties de $\R^2$ qui définit ce qu'on appelle "l'ensemble des ouverts de cet espace topologique".
Dans ce cas précis, on sait décrire $\sigma$. Peux-tu décrire, pour un point $a\in \R^2$ les voisinages de $a$ ?
Si oui, tu as la réponse tout de suite, sinon repose la question et on essaiera d'être plus précis.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
On appelle $V$ voisinage de $a,$ s'il existe un ouvert $O$ de $\sigma$ telle que $x \in O$ avec $O$ inclus dans $V$.
Alors, les voisinage de $a$ sont tous les ensemble de $\R^2$ qui contiennent le cercle trigonométrique.

La suite $u_n$ n'appartient qu'au cercle trigonométrique $\Omega_1$ comment conbtinuer le raisonnemment alors?
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Par définition,

un ouvert est un voisinage (il se contient lui-même).
Reste à utiliser la définition de "converge" (à compléter avec le quantificateur sur V qui n'est pas apparu) en notant qu'ici, les $\Omega_r$ sont des "plus petits voisinages".

Cordialement.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Voir cet ancien fil où cette topologie a déjà sucité pas mal de discussions.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
$(u_n)_n$ converge vers $l$ ssi quelque soit $V$ voisinage de $l,$ il existe un rang $n_0$ de $\N$ telle que à partir de ce rang, $x_n \in V.$

Je cherche à écrire un raisonnement correcte. Vu que la question n'est pas de prouver que $(u_n)_n$ converge, mais d'étudier la nature de la suite. Quelle est la façon la plus correecte d'écrire un raisonnement ici? J'essaye ceci: on remarque que la suite $(u_n)_n$ appartient à l'ouvert $\Omega_1$ mais à paretir de là, je ne trouve plus d'argument...
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Bon, je te propose le plan d'attaque suivant, découpé en étapes faciles :
- montre que pour tout $a \in \Omega_1$ et tout $r \geq 0$, on a $u_n \in \Omega_r$ si et seulement si .....
- montre que tout ouvert de $\sigma$ s'écrit sous la forme $U_J := \bigcup_{r \in J} \Omega_r$ pour un et une seul $J \subset \R_+$ ;
- détermine une condition nécessaire et suffisante sur $J$ pour que $a \in U_J$, si $a \in \Omega_1$.
- déduis-en que si $a \in \Omega_1$, tout voisinage de $a$ contient $\Omega_1$.

Maintenant c'est à toi de produire quelque chose...
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
- Montrer que pour tout $a \in \Omega_1$ et pour tout $r \geq 0,$ on a $u_n \in \Omega_r$ ssi $r \geq 1.$ $\Omega_1$ est le plus petit ouvert qui contient toute la suite $(u_n)$, et donc pour tout $r \geq 0,$ on a aussi $(u_n) \in \Omega_r.$

-Montrer que tout ouvert $\sigma$ s'écrit sous la foume $U_J=\cum_{r\in J} \Omega_r$ pour un seul et unque $J$ dans $\R_+.$ On sait par définition de $\sigma$ que les ouverts sont réunion de $\Omega_r$ mais je ne vois pas comment justifier l'unicité. (pourquoi tout ouvert s'écrit de manière unique)?

-Détérminer une conditionn nécessaire et suffisante sur $J$ pour que $a \in U_J$ si $a \in \Omega_1.$ C'est $1 \in J.$

Quelle est l'idée que vous voulez me faire comprendre par ces étapes? et est-ce que le fait que $(\R^2,\sigma)$ ne soit pas séparable joue un role ici?
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Citation
luluuu
ssi $ r \geq 1.$ [....] et donc pour tout $ r \geq 0,$ on a aussi $ (u_n) \in \Omega_r.$
Non. Penses-tu que $u_n \in \Omega_2$ par exemple ?
Citation
luluuu
Montrer que tout ouvert $ \sigma$ s'écrit sous la foume $ U_J=\cup_{r\in J} \Omega_r$ pour un seul et unque $ J$ dans $ \mathbb{R}_+.$ On sait par définition de $ \sigma$ que les ouverts sont réunion de $ \Omega_r$ mais je ne vois pas comment justifier l'unicité. (pourquoi tout ouvert s'écrit de manière unique)?
Attention à l'expression "$J$ dans $\R_+$" qui est ambiguë ; $J$ est une partie de $\R_+$ et pas un élément de $\R_+$. L'unicité vient du fait que les $\Omega_n$ sont deux-à-deux disjoints. Tu peux aussi remarquer que si $D=\R_+ \times \{0\} \subset \R^2$ est le demi-axe des abscisses positives, alors $J=U_J \cap D$ pour tout $J \subset \R_+$.
Citation
luluuu
C'est $ 1 \in J.$
OK thumbs down

Ce que je veux te faire comprendre, et surtout démontrer proprement, c'est ce que tu as dit :
Citation
luluuu
$ \Omega_1$ est le plus petit ouvert qui contient toute la suite $ (u_n)$,
mais surtout c'est le plus petit ouvert qui contient n'importe quel $a \in \Omega_1$ ; il n'y a pas de "sous-ouvert" de $\Omega_1$, c'est un "atome" de la topologie.

Une fois que tu as montré ça, ça devient beaucoup plus facile de montrer que $u_n \to a$ pour tout $a \in \Omega_1$ (en utilisant la définition de la convergence).
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
- $u_n \in \Omega_r$ ssi $r=1.$

- Et on sait que tout ouvert $\sigma$ s'écrit par $U_J = \cup_{r\in J} \Omega_r$ où $J$ est unique.

- Une condition nécessaire et suffisante sur $J$ pour que $a \in U_j$ si $a \in \Omega_1$ c'est que $1 \in J.$

$\Omega_1$ est le plus petit ouvert qui contient la suite $(u_n)_n$ et pour tout $a \in \Omega_1$, on peut trouver un voisinage de $a$ : $U_J = \cup_{r\in J} \Omega_r$ où $1 \in J_1$ telle que que $u_n \in J_1.$
On n'a pas montré la relation quelque soit $a$ dans $\Omega_r$, on l'a montré seulement que $(u_n)$ converge vers $a \in \Omega_1$.
La nature de la suite $(u_n)$ est qu'elle est convergente vers un élément $a$ de $\Omega_1.$ Et on n'a pas eu l'intuition de chercher l'existence de $a$ dans $\Omega_1$ parce que $(u_n)_n$ est contenue dans $\Omega_1.$
adhérence
il y a six années
Bonjour,
On pose $\Omega_r=\{(x,y) \in \R^2, x^2+y^2=r^2,\ r\in \R_+\}$ et on désigne par $\sigma$ la famille constituée de l'ensemble vide et de toutes les réunions des ensembles $\Omega_r.$

Détérminer dans $(\R^2,\sigma)$ les valeurs d'adhérence de la suite $(v_n)_n=((-1)^n + 2, (-1)^n+3)_n$.

Par définition, on dit qu'une suite quelconque $(x_n)$ admet une valeur d'adhérence $a$ ssi pour tout $V \in \mathcal{V}(a)$, il existe un nombre infini d'indices de la suite $(x_n)_n$ tel que $(x_n) \in V$: $card \{k \in \N, x_k \in V,\ \forall V \in \mathcal{V}(a)\}=+\infty$

Je connais la définition mais je ne sais pas comment l'appliquer pour trouver les valeurs d'adhérences de $(v_n).$ Y aurait-il une manière simple de les trouver ?
et merci de l'aide.

PS: Merci très chers modérateurs de laisser les deux topic séparées, parce que les deux questions sont séparées et aussi difficiles l'une que l'autre (pour moi).
[Je fusionne car ceux qui vont te répondre, te diront la même chose sur l'une et l'autre discussions. AD]
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Puisque vous les avez mis dans le meme topic, pouvez vous effacez cette dérnière question qui n'a aucune relation avec la première? Je n'ai pas encore tout à fais fini la première, de ce fait ce topic sera illisible.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par luluuu.
Re: adhérence
il y a six années
avatar
Non, luluu c'est bon de voir tout ce qui s'est déjà dit sur cette topologie!

Alors, que vaut $v_n$ pour $n$ pair et pour $n$ impair? A quel(s) ouvert(s) ces termes appartiennent?
Re: adhérence
il y a six années
Citation
luluu
et pour tout $ a \in \Omega_1$, on peut trouver un voisinage de $ a$ : $ U_J = \cup_{r\in J} \Omega_r$ où $ 1 \in J_1$ telle que que $ u_n \in J_1.$
Je ne vois pas le rapport. Tu sembles vouloir montrer un $\exists V \in \mathcal{V}(a)$, mais la définition de la convergence fait intervenir $\forall V \in \mathcal{V}(a)$. Il n'y a donc pas à "trouver" un voisinage de $a$, mais à montrer que {\bf pour tout} voisinage de $a$, il contient une infinité de termes de la suite $(u_n)$.

Citation
luluu
On n'a pas montré la relation quelque soit $ a$ dans $ \Omega_r$, on l'a montré seulement que $ (u_n)$ converge vers $ a \in \Omega_1$.
Quelle relation ? et la fin de ton message est encore plus obscure pour moi. Un petit effort de clarté serait le bienvenu.
Re: adhérence
il y a six années
Dites moi si ma conclusion pour la convergence de $(u_n)$ est vraie. On a montré que $(u_n)$ cpnverge vers un élément $a \in \Omega_1.$ et on a pensé à faire le raisonnement pour un $a \in \Omega_1,$ parceque la suite $(u_n)$ est dans $\Omega_1.$ Mais aurait pu etre dans $\Omega_r$ où $r \neq 1.$ C'est ce que je ne comprend pas. Pourquoi a-t-on pris dès le début, un $a$ qui appartient à $\Omega_1?$
Re: adhérence
il y a six années
Pour la question sur l'adhérence.
si $n$ est paire: $(v_n)= (3,4)$ et elle appartient à $\Omega_5$ et aussi, aux ouverts de la formes $U_J=\cup_{r\in J} \Omega_r$ où $5 \in J.$
Si $n$ est impaire: $(v_n)=(1,2)$ et elle appartient à $\Omega_{\sqrt{5}}$ et aussi aux ouverts de la forme $U_J=\cum_{r\in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5} \in J.$
J'aimerai bien savoir comment enchainer ce raisonnement.
Re: adhérence
il y a six années
avatar
Ok! Alors quels ouverts de ton espace peuvent contenir une infinité de termes de la suite?
Re: adhérence
il y a six années
les ouverts de la forme $U_J = \cum_{r \in J} \Omega_r$ où $J$ contient $\sqrt{5}$ et $5.$?
Re: adhérence
il y a six années
avatar
Pourquoi "et"? "ou" fait très bien l'affaire! Alors quels sont les points qui ont des voisinages contenant une infinité de termes de la suite?
Re: adhérence
il y a six années
Citation
Luluuu
pourquoi les $ \Omega_r$ sont deux à deux disjoints?
Fais un dessin ou applique le cours de première (équations de cercles). Il semble que tu n'as pas sérieusement réfléchi à l'énoncé, avant de poser des questions.

Cordialement.
Re: adhérence
il y a six années
Luluuu = Doc ?
Re: adhérence
il y a six années
Je retire ma deuxième question, elle était bete et la réponse est évidente par définition.

Les points d'adhérence de la suite $(v_n)$ sont 5 et $\sqrt{5}$. J'en suis sure.
Re: adhérence
il y a six années
Citation
Luluu
Les points d'adhérence de la suite $ (v_n)$ sont 5 et $ \sqrt{5}$. J'en suis sure.
Ce ne sont même pas des éléments de $\R^2$....

Citation
Gérard
Luluuu = Doc ?
Je pense aussi thumbs down
Re: adhérence
il y a six années
Je comprend pas la suite, par contre je sais mon erreur et je corrige.
Les points d'adhérence de $(v_n)_n$ sont $(3,4)$ et $(1,2)$. Les points d'adhérences de $(v_n)$ sont les points qui appartiennent $\Omega_5 \cup \Omega_{\sqrt{5}}$.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Eh ben, voilà ;) c'est bien et c'est compris.
Petit retour sur la notion de limite :
On dit que $a$ est un point limite de la suite $(u_n)$ si ...
On dit qu'une suite converge si elle admet un point limite.
Une suite peut avoir plusieurs points limites.

L'unicité du point limite (qu'on appelle alors "limite") est obtenue moyennant une hypothèse supplémentaire sur la topologie.
L'hypothèse "espace séparé" est la plus utilisée, mais d'autres hypothèses peuvent entrainer l'unicité de la limite.
Je laisse aux spécialistes de la topologie le soin d'en faire une liste (non exhaustive).

Parmi tous les axiomes qui entrainent l'unicité du point limite il y a ... l'unicité du point limite qui peut s'écrire sous la forme :
($a$ point limite de $u_n$ et $b$ point limite de $u_n$ ) implique $a=b$.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Citation
zephir
Eh ben, voilà ;) c'est bien et c'est compris.
J'aimerais partager ton optimisme Zephir... eye rolling smiley

Peut-être que Luluu pourrait nous proposer une rédaction de l'intégralité de l'exercice pour nous convaincre ?
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Récapitulatiof sur l'étude de la nature de la suite $(u_n)$.
On commence par remarquer que $u_n \in \Omega_1$, et par définition de $\sigma$, on sait que tout ouvert de $\sigma$ s'écrit sous la forme $U_J = \cup_{r \in J} \Omega_r$ pour une et une seule partie de $\R_+$ notée $J$.
Puisque la suite $(u_n)$ est dans $\Omega_1$, on commence par regarder s'il y'a une limite dans $\Omega_1.$ Si $a \in \Omega_1$, alors la condition nécessaire et suffisante pour que $a \in U_J$ est que $1 \in J.$ Donc, on déduit que si $a \in \Omega_1$, tous les voisinages de $a$ contiennent la suite $(u_n)_n.$ $\Omega_1$, donc, il contient $(u_n)$. Par conséquent; $(u_n)$ converge pour la topologie $(\R^2,\sigma)$ vers tous les élément appartenant à $\Omega_1.$

La question que je me pose, après avoir lu le post de Zéphir, c'est est ce que $a$ est unique?

Récapituation de la réponse à la question: détérminer dans $(\R^2,\sigma)$ les valeurs d'adhérence de la suite $(v_n)_n=((-1)^n+2,(-1)^n+3)_n$.

Par définition, on dit qu'une suite $(v_n)$ admet une valeur d'adhérence $b$ ssi pour tout $V \in \mathcal{V}(b)$, il existe un nombre infini d'indices de la suite $(v_n) \in V$ .
Il faut commencer par savoir les valeurs de $(v_n)_n$. Pour celà, il faut distinguer deux cas:
- si $n$ est pair: $v_n=(3,4)$ et elle appartient à $\Omega_5$ et aux ouverts de la forme $U_J = \cum_{r \in J} \Omega_r$ où $5 \in J$.
-Si $n$ est impair: $v_n = (1,2)$ et elle appartient à $\Omega_{\sqrt{5}}$ et aux ouverts de la forme $U_J=\cum_{r \in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5} \in J.$

En résumé, la suite $(v_n)$ appartient à $\Omega_5 \cap \Omega_{\sqrt{5}}$ et aux ouverts de la forme $\cum_{r\in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5}$ et 5 appartiennent à $J.$ Par conséquent, les valeurs d'adhérence de $(v_n)$ sont les éléments de $\Omega_5 \cup \Omega_{\sqrt{5}}$.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
A priori, on n'en sait rien et, pour cette raison je parle de point limite et non de limite.
Tout point $a$ qui vérifie la propriété $$\forall w\in V(a),\ \exists p\in \N\ :\ \forall n\in \N,\ n\ge p \Rightarrow u_n\in w$$Donc est un point limite. Or tout point de $\Omega_1$ vérifie cette propriété.

Relie bien mon message précédent. L'ensemble des points limites, quand il est non vide, n'est pas nécessairement réduit à un point, sauf hypothèse supplémentaire sur la topologie en question.

Une petite remarque : si $a\in \Omega_r$ tout voisinage de $a$ pour cette topologie contient $\Omega_r$.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
J'ai compris Zéphir, il faut que je précise dans la réponse que: la suite $(v_n)$ admet l'ensemble des points de $\Omega_1$ comme point limite. Quant à sa nature? j'hésite à dire qu'elle est convergente, puisque on n'a pas forcément unicité du point limite.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
C'est une définition. On dit qu'une suite converge si elle a un point limite. Les espaces habituels étant souvent séparés, on a pris l'habitude de considérer l'unicité du point limite comme allant de soi, donc l'existence de plusieurs points limite a quelque chose d'inhabituel.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Salut,
merci bien Zephir pour toutes ces précisions. J'ai ainsi amélioré la rédaction dans mon précédent post. Et voici pour la seconde question. Une remarque?
Récapituation de la réponse à la question: détérminer dans $(\R^2,\sigma)$ les valeurs d'adhérence de la suite $(v_n)_n=((-1)^n+2,(-1)^n+3)_n$.

Par définition, on dit qu'une suite $(v_n)$ admet une valeur d'adhérence $b$ ssi pour tout $V \in \mathcal{V}(b)$, il existe un nombre infini d'indices de la suite $(v_n) \in V$ .
Il faut commencer par savoir les valeurs de $(v_n)_n$. Pour celà, il faut distinguer deux cas:
- si $n$ est pair: $v_n=(3,4)$ et elle appartient à $\Omega_5$ et aux ouverts de la forme $U_J = \cum_{r \in J} \Omega_r$ où $5 \in J$.
-Si $n$ est impair: $v_n = (1,2)$ et elle appartient à $\Omega_{\sqrt{5}}$ et aux ouverts de la forme $U_J=\cum_{r \in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5} \in J.$

En résumé, la suite $(v_n)$ appartient à $\Omega_5 \cap \Omega_{\sqrt{5}}$ et aux ouverts de la forme $\cum_{r\in J} \Omega_r$ où $\sqrt{5}$ et 5 appartiennent à $J.$ Par conséquent, les valeurs d'adhérence de $(v_n)$ sont les éléments de $\Omega_5 \cup \Omega_{\sqrt{5}}$.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Bonjour.

"En résumé, la suite $ (v_n)$ appartient à $ \Omega_5 \cap \Omega_{\sqrt{5}}$ "
Erreur de notation (cap au lieu de cup ?) ?
"et aux ouverts de la forme $ \cup_{r\in J} \Omega_r$ où $ \sqrt{5}$ et 5 appartiennent à $ J.$ "
"Par conséquent, les valeurs d'adhérence de $ (v_n)$ sont les éléments de $ \Omega_5 \cup \Omega_{\sqrt{5}}$."
Pourquoi ? Nulle part la définition de valeur d'adhérence n'est utilisée, ni un théorème en rapport.

Cordialement.

NB : Le résultat est bon, c'est la preuve qui manque.
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Tous Les voisinages des points appartenant à $\Omega_5 \cup \Omega_{\sqrt{5}}$ contiennent la suite $(v_n)_n$ pour nombre infini d'indice, donc l'ensemble des points d'adhérence pour la suite $(v_n)$ est $\Omega_{\sqrt{5}} \cup \Omega_5.$
Re: convergence dans un espace topologique
il y a six années
Il y'a quelques points que je souhaite vérifier avec vous.

1- Egoroffski a dis dans un défil: on peut egalement remarquer que $\sigma$ est l'image inverse de la topologie discrete sur $\R_+$ par l'application "norme".

Comment l'avez-vous remarquer?

2- On considère la projection $\pi_1:(\R^2,\sigma) --> (\R,|.|)$.
-étudier la continuité de $\pi_1$ en chaque point du domaine de définition .

Soit la projection $\pi_1$ qui, à tout point $X=(x,y)$ associé l'image $\pi_1(X)= x$.
$\pi_1$ est continue en $X_0(x_0,y_0)$ ssi $\forall W \in \mathcal{V}_{\pi_1(X_0)}: \pi_1^{-1}(W) \in \mathcal{V}(X_0)$

Soit $X_0(x_0,y_0) \in \R^2.$ Par définition de $\pi_1,$ on a $$\pi_1(X_0)=x_0 \quad \mbox{et} \mathcal{V}_{\pi_1(X_0)} = ]x_0-\epsilon, x_0+\epsilon[, \quad \epsilon > 0$$

$\pi_1(X_0) \in ]x_0-\epsilon,x_0+\epsilon[ ==> x_0-\epsilon \leq x_0 \leq x_0 + \epsilon ==> x_0 \in ]x_0-\epsilon,x_0+\epsilon[.$
Donc, $X_0=(x_0,y_0) \in ]x_0,y_0,x_0+y_0[ \times \R$ et ce dernier n'est pas un voisinage pour $X_0.$ Donc, $\pi_1$ n'est pas continue en tous point de son domaine de définition.

3-$\mathcal{P}(\R^2)$ est plus fine que $\sigma$ puisque $\mathcal{P}(\R^2)$ contient le plus grand nombre d'ouverts, et $\sigma$ est incluse dans $\mathcal{P}(\R^2).$

4- L'espace $(\R^2,\sigma)$ n'est pas séparé, car il existe toujours deux points distincts tels que l'intersection de leurs voisinages n'est pas l'ensemble vide, et ca parceque tous les ouverts de cette topologie sont des cercles qui ont le meme centre (par contre les ouverts de cette topologie sont deux à deux disjoints).

5- Pour vérifier que $(\R^2,\sigma)$ est une topologie, il faut vérifier que l'intersection finie d'ouvert est un ouvert. J'ai écris ceci $$\cap_{i=1}^n (\cup_{r_i} \Omega_{r_i}) = \cup_{r_i} (\cap_{i=1}^n \Omega_{r_i})$$ Qu'en pensez-vous?
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